Re: [obm-l] Probleminha....

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Dec 31, 2004 at 06:47:57PM -0200, Bernardo Freitas Paulo da Costa wrote:
> Eu não disse que 0^0 = 1. Isso não está definido. Mas lim x->0 x^x = 1:
> 
> x^x = exp(x * ln x). Como exp é contínua, teremos
> lim x->0 x^x = exp (lim x->0 x ln x).
> 
> Para calcular lim x->0 x ln x, x ln x = ln x/ (1/x) e, como
> (ln x)' = 1/x e (1/x)' = (-1/x^2), e lim x->0 (1/x)/(-1/x^2) = lim
> x->0 (-x) = 0,
> por l'Hôpital, lim x->0 ln x/(1/x) = 0.
> 
> Assim, voltando para exp, temos lim x->0 x^x = exp (lim x->0 x ln x) =
> exp(0) = 1.
> 
> Agora, se você falar que 0^0 = 1, você vai arrumar confusão. Mesmo
> porque dá para arrumar f(x) e g(x) de forma que f(x) ->0 e g(x) ->0
> com x->0, mas podem acontecer os casos a seguir:
> 1) f(x)^g(x) não existe (use algo patológico como sen(1/x), sempre funciona...)
> 2) f(x)^g(x) = r para um real r arbitrário (bom, pode ser complexo
> também, se você quiser...)
> 3) f(x)^g(x) diverge para +- infinito

Nos seus exemplos voce precisa ter o cuidado de manter a função f positiva
pois expressões como (-1)^(sqrt(2)) não estão definidas. Mas fora esta
pequena correção, o que você diz é verdade:

Existem funções f > 0 e g tais que lim_{x -> 0} f(x) = lim_{x -> 0} g(x) = 0 e

(1) não existe lim_{x -> 0} f(x)^g(x).
(2) lim_{x -> 0} f(x)^g(x) = r, r >= 0.
(3) lim_{x -> 0} f(x)^g(x) = +infinito.

Apesar disso tudo, o usual é definir 0^0 = 1.
As razões para isso já foram discutidas várias vezes nesta lista.

[]s, N.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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