Olá Vinicius.
Será que vc procurou direito?
Eureka! 8, página 60 - "Problemas propostos"
"Se a e b são números reais positivos, então a^b+b^a>1"
A solução é muito simples e está na Eureka! 10, página 42 - "Soluções de probemas propostos".
A prova é muito simples. Se a>1 ou b>1 a desigualdade é imediata. Assim "os alunos do CEMPI" fazem a=1/(1+u) e b=1/(v+1), u e v reais positivos.
a^b=1/(1+u)^b e b^a=1/(1+v)^a
notando que 1/(1+u)^b>1/(1+ub)=1/(1+u/(v+1)) e que 1/(1+v)^a>1/(1+av)=1/(1+v/(u+1))
somando as desigualdades chegamos ao resultado.
A desigualdade é demonstrável atraves de Cálculo.
[]'s.
> Oi Vinicius,
> Eu acho que consegui achar uma solucao para isto - nao foi facil - mas
> usando calculo e a matrix hessiana da funcao f(x,y) = x^y + y^x. Um tanto
> intrincado. Se vc quiser eu amanha mando a solucao que consegui. Falta dar
> uma revisada, posso ter cometido algum engano.
> Um ponto que vemos claramente eh que basta considerar (x,y) em (0,1) x (0,1)
> e outro a que cheguei fucando eh que basta na realidade considerar (x,y) em
> (0,1/e) x (0,1/e). Conclui isto porque funcoes deste tipo quase sempre
> apresentam algo interessante em e ou em 1/e.
> Artur
>
>
> ------- Mensagem Original --------
> De: obm-l@mat.puc-rio.br
> Para: "obm-l@mat.puc-rio.br"
> Assunto: [obm-l] Probleminha....
> Data: 24/12/04 02:26
>
>
> Não achei a resoluçao desse exercicio na Eureka, caso alguem possa me
> esclarecer ficarei muito grato:
>
>
> X^y+y^X>1
>
> Um ótimo Natal a todos e a suas famílias!!!!
>
>
> Vinícius Meireles Aleixo
>
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> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Atenciosamente,
Osvaldo Mello Sponquiado
Engenharia Elétrica, 2ºano
UNESP - Ilha Solteira