Bom, o problema é o seguinte:
a,b,c,d reais positivos, mostrar que [a^(d+2)+1]/[(a^(d).b.c)+1] +[b^(d+2)+1]/[(b^(d).b.c)+1]+[c^(d+2)+1]/[(c^(d).b.c)+1]>=1+1+1
que é o mesmo que mostrar que
[a^(d+2)+1]/[(a^(d).b.c)+1]>=1 (*)
e
[b^(d+2)+1]/[(b^(d).b.c)+1]>=1 (**)
e
[c^(d+2)+1]/[(c^(d).b.c)+1]>=1 (***)
Observe que para x,y reais positivos teremos que (x+1)/(y+1)>=1 se, e somente se, x>=y
logo, a partir de *, basta mostrar que a^(d+2)>=a^(d).b.c <=>a^d.a^2>=(a^(d).b.c) (****)
dividindo **** por a^d>0=> temos que mostrar que a.a>=b.c
e b.b>=a.c e c.c>=a.b a partir de ** e ***
somando temos que mostrar que a^2+b^2+c^2>=ab+ac+bc
sabemos que (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)>=0
e que (a+b-c)^2=a^2+b^2+c^2-2ac-2bc+2ab
e que (a-b+c)^2=a^2+b^2+c^2-2ac-2bc-2ab
e que (a-b-c)^2=a^2+b^2+c^2-2ac-2ab+2cb
somando vem 4(a^2+b^2+c^2)-4ac>=0=> a^2+b^2+c^2>=ac
mas não consegui tirar mas nenhuma conclusão.
alguma sugestão ?
> Este exercicio foi proposto na "vingança" da semana olímpica da OBM:
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> Sejam a, b, c, x reais positivos. Prove que:
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> Até mais...
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> Vinícius Meireles Aleixo
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Atenciosamente,
Osvaldo Mello Sponquiado
Engenharia Elétrica, 2ºano
UNESP - Ilha Solteira