[obm-l] Re: [obm-l] Questão simples

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Utilizando um argumento similar ao que o Fabio apresentou, podemos
generalizar esta questao.
Sejam a, b , c numeros positivos com a < c, b < c e c >1. Entao, a equacao
a^x + b^x = c^x tem uma unica raiz r, a qual eh positiva. Para ver isto,
definamos f por f(x) =  a^x + b^x- c^x, para x em R. Entao f eh continua e
f(0) = 1. Para todo real x, temos que f(x) = c^x*[(a/c)^x + (b/c)^x -1],
sendo que 0 < a/c <1 e 0 < b/c < 1. Logo,  quando x -> oo as exponenciais do
colchete tendem a zero, de modo que a expressao dentro do colchete tende a
-1. Como c > 1, c^x vai para infinito com x, de modo que f(x) -> -oo quando
x -> oo. Considerando que f eh continua em R e que f(0) =1 >0, concluimos
que f tem uma raiz r > 0. 
para vermos que r eh unica, generalizamos o argumento do Fabio. Se x = r +
h, h em R, temos que f(x) = (a^r)*(a^h) + (b^r)*(b^h) - c^r*c^h. Como c^r =
a^r + b^r, uma transformacao simples nos leva a que f(x) = (a^r)*[a^h - c^h]
+ (b^r)*[a^h - c^h]. Considerando que  0 < a < c e 0 < b < c, para h>0,
temos que ambos os colchetes tornam-se negativos, de modo que f(x) <0. E, se
h<0, os colchetes sao postivos e f(x) >0. Assi, f anula-se sse h = 0, ou
seja, se x =r. 
Artur



--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: Re: [obm-l] Questão simples
Data: 24/12/04 01:15

Bruno,
a sua resposta:

Não sei se isso é válido, mas foi o que eu pensei:
3^x + 4^x = 5^x ==> 1 + (4/3)^x = (5/3)^x
Sejam f(x) = 1 + (4/3)^x e g(x) = (5/3)^x
Temos que (5/3)^x cresce mais rapidamente que (4/3)^x. Logo, após o
primeiro ponto de encontro não haverá mais nenhum, pois (5/3)^x será
sempre maior que 1 + (4/3)^x. O mesmo argumento vale para mostrar que
não haverá ponto de encontro anterior ao que vc encontrou.
Até mais!
Bruno

É válida mas não é precisa, pois usa gráfico e usando gráfico vc só nota o
ponto
de encontro mas como provar que o ponto realmente é 2, visivelmente dá para
notar que é 2 mas fica melhor uma resposta sem usar gráfico, uma resposta
aritimética ou algébrica.

Igor C. O.
Obrigado.
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