Re: [obm-l] AJUDA!

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2003@xxxxxxxxxxxx>]

Minha pergunta e: por que voce acha que ha alguma
solucao baseada em logaritmos?
Nao acho que voce va ter tanta sorter assim... Se o
seu "baseamento" for algo que mostre o uso maciço de
logaritmos (bem como a IMO propoe que as coisas sejam,
hehe!), voce acabou de mostrar que isto nao e
realmente necessario. Se voce, bem como eu, gosta de
colecinar Special Prizes e solucoes de problemas de
IMO, talvez seja mais util voce comecar a procurar em
vez de esperar (e que as vezes as pessoas se atrofiam
em uma direcao, entao e certamente um erro ser
categorico :-) ). Eu mesmo tenho fortes razoes de crer
que e uma perda de tempo pensar em uma solucao com
logaritmos, pois a unica ligacao conhecida entre eles
e a Teoria dos Numeros e o teorema do numero Primo e
seus correlatos. Ou voce vai, no pior caso, descobrir
umas desigualdades sem-nocao que vao aumentar a sua
resolucao em dois e-mails...

Mas uma coisa e certa: alguma hora voce vai usar este
trecho do problema: "...todos os INTEIROS POSITIVOS
tais que..."


 --- Bruno Bruno <tatunavalha@yahoo.com.br> escreveu: 
> oi vinicius, fui eu que mandei. Eu queria saber se
> alguem tinha uma resoluçao baseada em logaritmos,
> mas até agora nada. A solução que eu tenho é assim:
>  
> Seja  a = kx  e   b = ky  , onde x e y sao primos
> entre si
>  
> (kx)^(ky)^2 = (ky)^kx       =>    (kx)^ky^2 = (ky)^x
>  ( I )
>  
> 1o caso: Se ky^2 = x , entao x = y , e a=b=1
>  
> 2o caso: Se ky^2 > x  , entao de ( I ) concluimos
> que:
>  
> k^(ky^2 - x)  *  x^ky^2  = y^x  (II)
>  
> de (II) concluimos que x^ky^2 é divisor de y^x , mas
> como x e y são primos entre si, e ky^2 <>0  , logo x
> = 1 , e :
>  
> k^(ky^2  - 1) = y
>  
> se k = 1  =>  ky^2 = x (não serve)
> se k >=2  => 2^(2y^2 - 1) > y (não serve tambem)
>  
> 3o caso: Se ky^2 < x  entao de ( I ) concluimos que:
> x^ky^2 = k^(x - ky^2)  *  y^x   (III)
> 
> de (III) concluimos que y^x é divisor de x^ky^2 ,
> mas como x e y são primos entre si, logo y = 1 , e :
>  
> x^k = k^(x-k)   =>  se x = Pk, entao:
>  
> (Pk)^k = k^(Pk - k) = k^k(P - 1)
> P^k = k^k(P-2)
> P=k^(P-2)
>  
> Atribuindo valores a P, temos que:
> Se P = 3, k=3, x=9, y=1, a=27, b=3  (27;3)
> Se P = 4, k=2, x=8, y=1, a=16, b=2  (16;2)
>  
> Se P>= 5, entao k^(P-2) > P , o que nao serve.
>  
> Assim, as unicas soluçoes possiveis sao: (1;1) ,
> (16;2) e (27;3)
>  
> ps: ainda aguardo alguem que apareça com uma
> resolucao baseada em logaritmos
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