Re: [obm-l] Autovalores

["Fabio Dias Moreira" <fabio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Claudio Buffara said:
> Este nao eh exatamente um problema olimpico (ultimamente poucos
> problemas que aparecem nesta lista sao...) mas, de qualquer forma, achei
> um bom exercicio de algebra linear.
>
> Determine, de forma pouco bracal, os autovalores da matriz abaixo (uma
> forma muito bracal seria calcular det(xI - A) e achar as raizes desse
> polinomio - podem acreditar: dah pra fazer de um jeito mais facil!):
>
>>
>> 0 0 1 0 0 0 1 0
>> 0 0 0 1 0 0 0 1
>> 2 0 3 0 2 0 3 0
>> 0 1 0 0 0 1 0 0
>> 0 0 1 0 0 0 1 0
>> 0 0 0 1 0 0 0 1
>> 2 0 3 0 2 0 3 0
>> 0 1 0 0 0 1 0 0
>>

Chame essa matriz de A e considere a matriz M formada pelo sub-bloco 4x4
no canto superior esquerdo. Se u = (v, w) é um vetor de R^8, autovetor de
A, com v e w em R^4, temos Au = (M(v+w), M(v+w)). Segue imediatamente que
v = w, e, portanto, Au = 2(Mv, Mv). Então se k é o autovalor associado de
A, temos (kv, kv) = (2Mv, 2Mv), logo k/2 é autovalor de M. Mas M tem três
autovalores 1, e como det M = 2, 2 também é autovalor de M.

Logo os autovalores de A, contando multiplicidade, são 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4
e 4.

Para mandar alguma coisa mais olimpíca para a lista, seguem alguns
problemas em que eu estive pensando (só sei resolver o 1):

1. Considere P, o conjunto das permutações de n elementos. Se escolhermos
ao acaso uma permutação p de P, qual o número esperado de inversões em p?
Suponha equiprobabilidade na escolha de p.

2. E se P for o conjunto das permutações *caóticas* de n elementos?
Pode-se afirmar pelo menos alguma coisa sobre o comportamento assintótico
dessa média?

3. Seja f: S = {2, 3, 4, 5, 6, ...} -> S a função que leva um número n no
seu número de fatores primos. Por exemplo, f(6) = 2 e f(12) = f(8) = 3.
Quanto vale lim[n->inf] (f(2) + f(3) + ... + f(n))/(n-1)?

4. E se f associar n ao seu número de fatores primos *distintos*? Por
exemplo, f(6) = 2 mas f(12) = 2 e f(8) = 1?

[]s,

-- 
Fábio "ctg \pi" Dias Moreira


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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