Re: [obm-l] Método Numérico

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Nov 24, 2004 at 12:00:15AM -0200, Osvaldo Mello Sponquiado wrote:
> Olá pessoal!
> 
> Criei um método numérico (Método Mello) para o cálculo de raízes de funções
> reais, com uma variável real...

Estou cortando partes para comentar.

...
> O resumo do método é o seguinte:
> 
> Método numérico iterativo para determinação de raízes reais de funções reais.
> O método se baseia em traçar circunferências com centro em (x0,f(x0)) e raio
> f(x0), sendo x0 um valor inicial dado, e tomar uma das intersecções da
> circunferência com a função como sendo o valor x1, e assim iterativamente até
> que xn, resultado da n-ésima iteração, possa ser admitido como aproximação
> para o valor da raiz.

A pergunta principal para mim é: como você vai encontrar a interseção
do gráfico de f com a circunferência? Isto deve ser pelo menos tão difícil
quanto encontrar a interseção do gráfico com uma reta, por exemplo o eixo x,
mas este é o problema original que o algoritmo todo tenta resolver.

...

> Tendo definido a circunferência C, sua equação é:
> (x_0-x_1)^2+(f(x-0)-f(x_1))^2=[f(x_0)]^2 (i)
> 
> Usando Aproximação de Taylor f(x)= S[n=0;+inf]f{n}(x_0).(x-x_0)^n/n! ({n}
> indica ordem n para a derivada de f)utilizo so as duas primeiras parcelas
> desta formula: f(x_1)=f(x_0)+f'(x_0).(x_1-x_0) (ii)
> 
> Substituindo ii em i chego à equação geral dos x_k's do metodo: x_(k+1)=x_k
> + 'ou' - sqrt[(f(x_k))^2/(1+(f'(x_k))^2)] (iii)

Se eu bem entendi esta passagem, você resolve a dificuldade acima
encontrando não a interseção do gráfico com a circunferência e sim
a interseção da reta tangente com a circunferência.
Assim o seu método é uma variação do método de Newton
e para que ele seja de interesse você deveria apontar
algum ponto de vista, alguma situação, em que ele seja
*melhor* do que o método de Newton. Certamente que nas situações
mais óbvias o seu método é um pouco *pior* do que Newton.

A situação típica para o método de Newton é a do seguinte exemplo.
Tome f(x) = x^2 - 1. Se x_n = 1 + eps, a reta tangente ao gráfico
de f por (x_n,f(x_n)) tem coeficiente angular 2x_n logo é
y - x_n^2 + 1 = 2x_n (x - x_n).
Resolvendo y = 0 (Newton) temos
x_{n+1} = x_n - (x_n^2 - 1)/(2 x_n) =
= 1 + eps - (1 + 2 eps + eps^2 - 1)/(2(1+eps)) 
= 1 + eps ( 1 - (2 + eps)/2(1 + eps) ) ~= 1 + eps ( 1 - (2+eps)(1-eps)/2)
~= 1 + eps ( 1 - 1 - eps/2) = 1 + eps^2/2.
A sua aproximação a partir de x_n claramente está entre x_{n+1} e x_n.
Mas ela é bem pior do que x_{n+1}. No limite (quando eps é pequeno),
o gráfico fica quase reto. Newton toma por aproximação a reta tangente
e pega a interseção desta reta com o eixo horizontal, o que dá convergência
quadrática, como você viu acima. O seu método toma a mesma reta tangente
e pega um ponto que está a uma razão mais ou menos fixa,
garantindo convergência apenas linear.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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