Re: [obm-l] Álgebra Linear - MIT

[kleinad@xxxxxxxxxx]

Vinícius Santana (healerx@gmail.com) escreveu:
>
>3. Considere o subespaço F de todos as matrizes simétricas 3x3 com zeros
>na diagonal.
>(a) Dê a base de F. Justifique.
>(b) Mais geralmente, qual é a dimensão do subespaço das matrizes
>simétricas nxn com zeros na diagonal?

Caso nxn, e levando-se em conta que a diagonal principal é nula:

Uma matriz A = [a_ij] de F é tal que a_ii = 0, a_ij = a_ji. Supondo as
matrizes reais (qualquer outro corpo serve e a demonstração é idêntica),
seja M o conjunto das matrizes E_ij, onde E_ij é uma matriz com todos os
coeficientes nulos exceto o ij-ésimo, que será igual a 1, bem como o ji-
ésimo. Assim, E_ji = E_ij.

É imediato que M gera F. Além disso, M é um conjunto linearmente
independente, como também é fácil ver, logo é base de F e portanto dim F = #
M = número de coeficientes abaixo da diagonal = (n^2 - n)/2 = n*(n-1)/2.

[]s,
Daniel

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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