Re: [obm-l] maximo

[Eduardo Henrique Leitner <eduardo.leitner@xxxxxxxxxxxx>]

genial! muito obrigado Cláudio! com isso deu pra resolver esse problema de física do ITA:

Você dispõe de um dispositivo de resistência R = 5r, e 32 baterias idênticas, cada qual com resistência r e força eletromotriz V. Como seriam associadas as baterias, de modo a obter a máxima corrente que atravesse R? Justifique.


mas caramba, colocarem isso numa prova de 30 questoes pra 4 horas é desumano!

será que havia alguma maneira mais simples de chegar a essa resposta, sem ter que achar esse máximo que pedi?

On Fri, Nov 12, 2004 at 09:00:14AM -0200, Claudio Buffara wrote:
> on 11.11.04 23:08, Eduardo Henrique Leitner at eduardo.leitner@terra.com.br
> wrote:
> 
> > olá pessoal, eu não consigo de jeito nenhum achar o máximo dessa expressão:
> > 
> > 
> > n/{5 + [1/(a_1)] + [1/(a_2)] + [1/(a_3)] + ... + [1/(a_n)]}
> > 
> > em que todas as letras (n, a_1, a_2, a_3, ..., a_n) pertencem ao naturais nao
> > nulos e:
> > 
> > a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n = 32
> > 
> 
> Para n fixo, o valor maximo da expressao ocorre quando:
> 1/a_1 + ... + 1/a_n eh minimo.
> 
> Como os a_i sao inteiros positivos, o valor minimo de 1/a_1 + ... + 1/a_n
> vai ocorrer quando eles forem o mais proximo possivel uns dos outros.
> Basta ver que para x positivo e |x| > |a| > |b|, vale sempre:
> 1/(x+a) + 1/(x-a) >= 1/(x+b) + 1/(x-b), com igualdade <==> |a| = |b|.
> 
> Ou seja, supondo que a_1 >= a_2 >= ... >= a_n, teremos que:
> a_1 = ... = a_r = [32/n]+1 e a_(r+1) = ... = a_n = [32/n],
> onde: 
> r = resto da divisao de 32 por n;
> [x] = parte inteira de x = piso(x).
> (repare que isso garante que a_1 + ... + a_n = 32)
> 
> Assim, dado n, o valor maximo da expressao serah igual a:
> f(n) = n/(5 + r/([32/n]+1) + (n-r)/[32/n]).
> 
> Naturalmente, n deve ser <= 32. Caso contrario, a restricao dos a_i serem
> inteiros nao seria obedecida.
> 
> Em suma, basta calcular o valor de f(n) para n = 1, 2, ..., 32 e tomar o
> maior deles. Com um computador isso eh feito facilmente resultando em:
> n = 11 ==> [32/n] = 2, r = 10 ==> f(n) = 11/(5 + 10/3 + 1/2) = 66/53
> 
> Ou seja, o valor maximo da expressao eh igual a 66/53 e ocorre quando:
> n = 11,  a_1 = ... = a_10 = 3,  a_11 = 2.
> 
> 
> []s,
> Claudio.
> 
> 
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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