Re: [obm-l] UM PROBLEMA DIFICÍLIMO!

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 05.11.04 20:42, jorgeluis@edu.unifor.br at jorgeluis@edu.unifor.br wrote:
> 
> É possível empilhar n tijolos de tal modo que o tijolo de cima não esteja em
> cima de nenhum ponto do tijolo embaixo de todos, mas uma pessoa pesando 100
> tijolos pode ficar no meio do tijolo de cima sem derrubar a pilha?
>
Sim.
Uma ideia eh maximizar o deslocamento possivel (ou seja, sem que tudo
desabe) de cada tijolo em relacao ao tijolo que estah em cima.
Suponhamos que cada tijolo tenha comprimento 1 e que o centro de massa (cm)
do sistema (pessoa + T1) tenha abscissa x(1) = 0.
A borda esquerda de T2 deve entao ter abscissa 0 e, de fato, a borda
esquerda de cada tijolo deve ter abscissa igual a do centro de massa do
sistema formado pela pessoa e por todos os tijolos acima dele.

O cm do sistema (pessoa + T1 + T2) terah abscissa:
x(2) = (101*x(1) + (x(1)+1/2)*1)/102 = x(1) + (1/2)/102
O cm do sistema (pessoa + T1 + T2 + T3) terah abscissa:
x(3) = (102*x(2) + (x(2)+1/2)*1)/103 = x(2) + (1/2)/103
...
O cm do sistema (pessoa + T1 + ... + Tk) terah abscissa:
x(k) = ((99+k)*x(k-1) + (x(k-1)+1/2)*1)/(100+k) = x(k-1) + 1/2/(100+k).
...

Ou seja, para k >= 2, x(k) = (1/2)*(1/102 + 1/103 + ... + 1/(100+k))

Como x(k) = metade de uma serie harmonica que comeca em 1/102, temos que
x(k) -> infinito quando k -> infinito

Assim, eh soh tomar k tal que x(k) > 1/2. A borda esquerda do (k+1)-esimo
tijolo terah abscissa x(k) > 1/2 e, portanto, nenhum ponto desse tijolo
estarah abaixo de algum ponto do 1o. tijolo.

De fato, eh possivel (em teoria, claro) que a pessao esteja a uma distancia
horizontal arbitrariamente grande do tijolo na base da pilha.

> A propósito, os números de Mersenne 2^p-1 são todos livres de quadrados?
> 
Nao se sabe. O problema estah em aberto.

[]s,
Claudio.


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================