Re: [obm-l] limite de uma sequencia

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Uma solucao legal, usando a propriedade da sequencia
das medias aritmeticas. Interessante que a reciproca
nao eh verdadeira. Se x_n = n+ sen(n), entao   
(x_n)/n -> 1, mas x_(n+1) - x(n) = 1+ sen(n+1) -
sen(n) nao converge. 
A afirmacao original pode ser facilmente generalizada:
se lim (x_(n+1) - x_n) =k<>0, entao lim x_n/(n) = k. A
reciproca torna-se verdadeira se estabelecermos a
hipotese adicional de que lim (x_(n+1) - x_n) existe.

Jah que se tocou na sequencia das medias, um exercicio
interessante e provar as desigualdades nao muito
difundidas de que, se x_n eh uma sequencia de numeros
reais e s_n eh a sequencia de suas medias aritmeticas,
entao lim inf x_n <= lim inf s_n <= lim sup s_n <= lim
sup x_n. A desigualddae do meio vale automaticamente,
eh claro, para qualquer seq. de numeros reais. Estas
desigualdades permitem concluir imediatamente que, se
x_n -> x, entao s_n -> x. Demonstrado este fato, eh
tambem muito facil concluir que, se os x_i forem
positivos, entao as seq. das media geometrica e
harmonica tambem tendem para x.
Artur   

--- Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
wrote:

> on 29.10.04 18:53, Artur Costa Steiner at
> artur@opendf.com.br wrote:
> 
> > Achei este problema interessante:
> > 
> > Sendo {x_n} uma sequencia de numeros reais, mostre
> que, se lim (x_(n+1) -
> > x_n) =1, entao lim x_n/(n) = 1.
> > Artur
> > 
> > 
> Seja y_n = x_(n+1) - x_n.
> 
> Entao, y_1 + y_2 + ... + y_n = x_(n+1) - x_1 ==>
> (y_1 + ... + y_n)/n = x_(n+1)/n - x_1/n
> 
> Mas sabemos que se y_n -> 1 entao (y_1 + ... +
> y_n)/n -> 1.
> 
> Logo, como y_n = x_(n+1) - x_n -> 1, concluimos que
> x_(n+1)/n - x_1/n -> 1
> e, portanto, que x_(n+1)/n -> 1 pois x_1/n -> 0.
> 
> Alem disso, como y_n -> 1, tambem eh verdade que
> y_n/n -> 0.
> 
> Assim, x_n/n = (x_(n+1) - y_n)/n = x_(n+1)/n - y_n/n
> -> 1.
> 
> 
> []s,
> Claudio.



		
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