Re: [obm-l] Medias e Divisores

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Se d eh divisor de n, entao n/d tambem eh e d * n/d = n. Suponhamos que n
tenha m divisorese seja  P o produto destes divisores. Se m for par, 
podemos entao expressar P como um produto de m/2 fatores do tipo d*(n/d) =
n. Logo P = n^(m/2). Se m for impar, entao n tem um divisor d* tal que n/d*
= d* (ou n teria necessariamente um numero par de divisores). Entao, n eh
quadrado perfeito e d* = n^(1/2). Podemos entao expressar P como um produto
de (m-1)/2 fatores do tipo d*(n/d) = n e de 1 fator igual a d*. Neste caso,
P = n^[(m-1)/2]* n^(1/2) = n^(m/2). Em qualquer gaso,temos entao que G =
P^(1/m) = n^(1/2) e que, portanto, G^2 = n.

Se d_1, ..d_m sao os divisores de n, entao n eh o mmc destes divisores. Da
definicao de media harmonica, temos que que   m/H = 1/d_1 +...1/d_m =
[n/d_1....+n/d_m]/n. No numerador temos a soma dos m divisores de n, de modo
quem m/H = (m*A)/n, o que nos leva a que A*H = n = G^2, completando a prova.
Artur 

--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "Lista OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: [obm-l] Medias e Divisores
Data: 28/10/04 12:24

E aqui vai um nao muito dificil envolvendo dois dos conceitos mais populares
da lista:

Sejam A, G e H as medias aritmetica, geometrica e harmonica dos divisores
positivos do inteiro positivo n.
Prove que A*H = G^2 = n.

[]s,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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