Re: [obm-l] OBM 2004 - NIVEL 3

["Fabio Dias Moreira" <fabio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Igor Castro said:
> É! me confundi... contei 5 alg diferentes umas 10 vezes na sétima linha
> :P mas enfim.. ok.. 4 alg diferentes sempre... essa era a resposta
> então? como provar que não tem um quadrado com 3? 2?
> [...]

Para simplificar o argumento, eu vou dizer que uma _fila_ é uma linha ou
coluna qualquer do tabuleiro.

Lema: Se C é um conjunto de filas que contêm todas as ocorrências de um
dado algarismo, então C tem pelo menos sete filas.

Prova: Suponha que |C| = k. Suponha ainda que h dessas k filas são
horizontais. Então as dez ocorrências do algarismo em questão devem estar
contidas na interseções das h filas horizontais com as k-h filas
verticais, donde h(k-h) >= 10. Mas por MA-MG, h(k-h) <= [(h+k-h)/2]^2 =
k^2/4, logo k >= sqrt(40) ==> k >= 7.

Marque todas as filas que contém algum algarismo zero, todas as que contém
algum algarismo um, ... até o nove. Pelo Lema, pelo menos 70 filas foram
marcadas; como o tabuleiro possui apenas 20 filas, o PCP implica que
alguma fila foi marcada pelo menos quatro vezes, logo esta fila possui
quatro algarismos distintos.

Unindo esta demonstração ao tabuleiro que o Paulo José enviou para a
lista, está demonstrado que o maior valor de n que satisfaz ao enunciado é
n=4.

[]s,

-- 
Fábio "ctg \pi" Dias Moreira


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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