Re: [obm-l] Somas de Quadrados e Raizes Primitivas

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 18.10.04 12:40, Paulo Rodrigues at pauloemanu@uol.com.br wrote:

> Existem várias maneiras de resolver o 1.
> 
> Uma delas está em  http://www.teorema.mat.br/phpBB2/viewtopic.php?p=385#385
>
OK. Mas essa foi mais ou menos a minha solucao.
Voce conhece alguma mais simples, sem envolver a equacao de Pell, por
exemplo?

Alem disso, serah possivel achar todos os inteiros n tais que n, n+1 e n+2
sao somas de quadrados?

[]s,
Claudio.

> ----- Original Message -----
> From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
> To: "Lista OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Monday, October 18, 2004 9:55 AM
> Subject: [obm-l] Somas de Quadrados e Raizes Primitivas
> 
> 
>> Aqui vao dois que estao me dando uma canseira:
>> 
>> 1. Mostre que existe uma infinidade de inteiros n tais que n, n+1 e n+2
> sao
>> todos somas de dois quadrados de inteiros.
>> 
>> 2. Suponha que p = 2^n + 1 seja um primo maior do que 3. Prove que 3 eh
> uma
>> raiz primitiva mod p.
>> 
>> No primeiro, eu usei o fato de que um inteiro positivo eh soma de dois
>> quadrados de inteiros se e somente se qualquer primo da forma 4k+3 aparece
>> na decomposicao desse inteiro com expoente par.
>> 
>> Isso significa que n tem que ser multiplo de 4, pois qualquer outra
> hipotese
>> vai resultar em um dos tres inteiros sendo da forma 4k+3, indicando a
>> presenca de um primo dessa forma elevado a expoente impar.
>> 
>> Sabendo disso, minha unica ideia foi buscar uma solucao em que n eh o
>> quadrado de um inteiro par. Isso resultou em:
>> n = 4y^2 + 0^2
>> n+1 = 4y^2 + 1^2
>> n+2 = 4y^2 + 2.
>> Forcando n+2 a ser da forma x^2 + x^2, teremos:
>> 4y^2 + 2 = x^2 + x^2 ==> x^2 - 2y^2 = 1 ==> equacao de Pell, com infinitas
>> solucoes, o que resolve o problema.
>> 
>> No entanto, eu acho que deve haver uma solucao mais simples.
>> Alem disso nem todas as solucoes do prolema original sao da forma. acima.
>> Por exemplo:
>> 72 = 6^2 + 6^2
>> 73 = 8^2 + 3^2
>> 74 = 7^2 + 5^2.
>> Serah que eh possivel achar todas as solucoes?
>> 
>> *****
>> 
>> No segundo, eh facil ver que n tem que ser da forma 2^m com m inteiro
>> positivo, mas isso foi tudo que eu consegui.
>> 
>> []s,
>> Claudio.
>> 
>> 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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