Re: [obm-l] Provar uma congruencia

[Demetrio Freitas <demetrio_freitas_2002_10@xxxxxxxxxxxx>]

Ok, Cláudio.

Obrigado, Demétrio 

--- Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
escreveu: 
> on 13.10.04 20:19, Demetrio Freitas at
> demetrio_freitas_2002_10@yahoo.com.br
> wrote:
> 
> > Ola,
> > 
> > Gostaria de provar uma congruencia.
> > 
> > Dado F(n) = n^5 -20*n^4 +40*n^3 +70*n^2 +79*n -50
> > Prove que F(n) = 0 (mod 120), se n for primo > 7.
> > (Onde = denota conguente)
> > 
> > Por exemplo:
> > F(11) = -69240 = -120 * 577
> > F(19) = 170760 =  120 * 1423
> > F(97) = 6853927800 = 120 * 57116065
> > F(563) = 54562015773960 = 120 * 454683464783
> > 
> > Porem:
> > F(15) = -101240 -> nao divisivel por 120
> > F(129) = 30271636600 -> nao divisivel por 120
> > F(597) = 73303331579800 -> nao divisivel por 120
> > 
> > 
> > Qual caminho usar?
> > 
> > Obrigado,
> > 
> > Demetrio
> > 
> > OBS:
> > Naturalmente a condição eh "se n primo" e não "sse
> (se
> > e somente se)", pois ha muitos n compostos onde
> F(n)
> > = 0 (mod 120)
> > 
> >
> A primeira coisa eh decompor 120 em fatores primos:
> 120 = 2^3*3*5.
> 
> Agora, basta provar que F(n) == 0 mod 3, 5 e 8 para
> n primo > 7.
> 
> Para cada um dos 3 modulos, a ideia eh reduzir F(n)
> usando propriedades das
> congruencias e o pequeno teorema de Fermat.
> 
> Mod 3:
> F(n) = n^5 -20*n^4 +40*n^3 +70*n^2 +79*n - 50 ==>
> F(n) == n + n^2 + n + n^2 + n + 1 ==>
> F(n) == 2*n^2 + 1
> 
> Se n for multiplo de 3, entao F(n) == 1 (mod 3).
> No entanto, todos os primos > 7 sao impares e nao
> multiplos de 3, de forma
> que os seus quadrados sao todos == 1 (mod 3).
> Logo, para n primo > 7, 2*n^2 + 1 == 2*1 + 1 == 0
> (mod 3)
> 
> ***
> 
> Mod 5:
> F(n) = n^5 -20*n^4 +40*n^3 +70*n^2 +79*n - 50 ==>
> F(n) = n - 0 + 0 + 0 - n + 0 ==>
> F(n) == 0
> 
> Ou seja, F(n) eh multiplo de 5 para qualquer inteiro
> n.
> 
> ***
> 
> Mod 8:
> F(n) = n^5 -20*n^4 +40*n^3 +70*n^2 +79*n - 50 ==>
> F(n) == n^5 + 4*n^4 + 0 - 2*n^2 - n - 2 ==>
> F(n) == n*n^4 + 4*n^4 - 2*n^2 - n - 2
> 
> O quadrado de cada impar eh == 1 (mod 8). Assim,
> para n impar, teremos:
> F(n) == n*1 + 4*1 - 2*1 - n - 2 == 0 (mod 8).
> 
> Ou seja, para n impar e nao multiplo de 3, F(n) == 0
> (mod 3*5*8).
> Em particular, para cada primo n > 7, F(n) eh
> divisivel por n.
> 
> Repare que, no seu exemplo acima, 15, 129 e 597 sao
> todos multiplos de 3.
> 
> []s,
> Claudio.
> 
> 
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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