RE: [obm-l] A PROVA DA IRRACIONALIDADE!

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

>A propósito, como poderá explicar aos alunos porque 10^(1/3) é irracional, 
>sem
>saber o seu valor certo?
>
>Abraços!

De modo geral: se n>1 e p>1 sao inteiros tais que nao exista nenhum inteiro
m tal que m^p = n, entao n^(1/p) eh irracional. Uma prova para este fato
segue passos similares aa de que raiz(2) eh irracional, com um pouco mais de
detalhes. Outra possivel prova baseia-se no fato de que n^(1/p) eh raiz do
polinomio P(x) = x^p - n = 0. O teorema das raizes racionais diz que se o
racional r dado pela fracao irredutivel r =q1/q2 for raiz de P, entao q1
divide -n e q2 divide 1. Logo, q2 = +1 ou -1 e q1 eh entao um inteiro
divisor de n. Mas como nao existe nenhum inteiro m tal que m^p = n,
concluimos que nenhum racional eh raiz de P. Como n^(1/p) eh raiz de P,
segue-se que eh irracional.
Artur

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