Re: [obm-l] Nao-quadrados perfeitos

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2003@xxxxxxxxxxxx>]

Vamos la!

 

2^n+3^n=x^2

Se n=1 ou 2, nao da!

Modulo 4: 2^n+3^n=0+(-1)^n=x^2. E os quadrados modulo 4 sao 0 e 1. Logo x e impar e n e par. Seja n=2y.

2^(2y)+3^(2y)=x^2

x^2-(2^y)^2=9^y

(x-2^y)(x+2^y)=3^2y

Logo x-2^y=3^a e x+2^y=3^b, com a+b=2y

 

2x=x+2^y+x-2^y=3^b-3^a=3^a*(3^(b-a)-1)

2x=3^a*(3^(b-a)-1)

E daqui, pelo teorema da fatoraçao, 3^(b-a)-1=2, ou b-a=1

b-a=1, b+a=2y, logo da pau! E fim! E isso?

Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br> wrote:

> Prove que 2^n + 3^n nao eh quadrado perfeito para nenhum inteiro positivo n.
>
> []s,
> Claudio.
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================

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