Re: [obm-l] Múltiplos de 9 - problema de 5ª série

[Faelccmm@xxxxxxx]

Na verdade é um problema olímpico (Cone Sul), mas coloquei "problema de 5ª série" sem nenhuma ironia, mas apenas enfatizando a criatividade do examinador que ao criar este problema, que possui conceitos de Ens.Fun., faz com que até mesmo aqueles que fazem pós em Matemática não saibam resolvê-lo sem utilizar matemática  de superior. Acredito que haja alguma solução de E.M (envolvendo binomiais), ou melhor, vou mais longe. Pelos elementos do enunciado, deve haver uma solução bem mágica e elegante com conceitos de E.F (múltiplos, divisores, etc...). De qualquer forma, tentei resolver utilizando conceitos de E.M, mas não sei se está certo ou não.
Vejam e, se possível, me corrijam ...


Em uma mensagem de 7/10/2004 01:16:55 Hora padrão leste da Am. Sul, Faelccmm@aol.com escreveu:


> Olá pessoal, 
>
> O problema abaixo já passou pela lista, mas não tinha entendido a resolução, foi a partir daí que resolvi tentar uma outra resolução para ele. Abaixo esta o problema e a resolução. Se errei em algo, me digam por favor ! 
>
>
> Seja n um número natural, n > 3. 
> Demonstrar que entre os múltiplos de 9 menores que 10^n há mais números com a soma de seus dígitos igual a 9(n-2) que números com a soma de seus dígitos igual a 9(n-1). 
>
>
> Para n = 4 (caso 9(n-2)) 
>
> múltiplos de 9 menores que 10^4 e soma dos dígitos igual a 9(4-2) = 18 
>
> x + y + z + w = 18 (Para 0 =< x,y,z,w =< 9) (I) 
> x + y + z = 18 (Para 0 =< x,y,z,w =< 9) (II) 
> x + y = 18 (Para 0 =< x,y,z,w =< 9) (III) 
>
> Por funções geratrizes tem-se que: 
>
> O número de soluções de (I) é 670 
> O número de soluções de (II) é 55 
> O número de soluções de (III) é 1 
> TOTAL = 670 + 55 + 1 = 726 
>
> Para n = 4 (caso 9(n-1)) 
>
> múltiplos de 9 menores que 10^4 e soma dos dígitos igual a 9(4-1) = 27 
>
> x + y + z + w = 27 (Para 0 =< x,y,z,w =< 9) (I-a) 
> x + y + z = 27 (Para 0 =< x,y,z,w =< 9) (II-b) 
> x + y = 27 (Para 0 =< x,y,z,w =< 9) (III-c) 
>
> Por funções geratrizes tem-se que: 
>
> O número de soluções de (I-a) é 220 
> O número de soluções de (II-b) é 1 
> O número de soluções de (III-c) é 0 
> TOTAL = 220 + 1 + 0 = 221 
>
> Prova-se, pois, que para n = 4 (base da indução) a afirmação do enunciado está correta ! 
>
> Vou tentar resolver por indução, através das etapas: 
> Hipótese de indução: Admitir que valha para qualquer n (n > 4) 
> Provar: Vale para qualquer n + 1 (n > 4) 
>
> Admitindo que seja correto o caso: 
>
> Para múltiplos de 9 menores que 10^n 
>
> 9(n-2) > 9(n-1) OU como preferirem: 
> 9n – 18 > 9n – 9 
> n – 2 > n – 1 (acho que eu deveria fazer isso no início, pois iria facilitar... De qualquer forma vou continuar !) 
>
> Temos que provar que: 
>
> múltiplos de 9 menores que 10^(n+1) e ... 
>
> Obs: 10^(n+1) = 10^n / 10 (=soluções em II e III. E em II-b e III-c, ou seja, não contamos as soluções I e I-a) 
>
> ...e soma dos dígitos igual a 9((n+1) - 2) > 9((n+1) - 2). Calculando: 
>
> 9((n+1) - 2) > 9((n+1) - 1) 
> 9(n-1) > 9n (dividindo por 9) 
> n-1 > n (somando (-1) em ambos os lados) 
> n-2 > n-1 (multiplicando por 9) 
> 9(n-2) > 9(n-1) HIPÓTESE DE INDUÇÃO 
>
> Está certa esta resolução?