[obm-l] Re: [obm-l] Equações trigonométricas [3 problemas]

["Edward Elric" <edwardelric666@xxxxxxxxxxx>]

Vamos lá, primeiro vamos fazer a segunda:
2) Mostre que:
D=1/2 + cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+....+cos(nx)= sen[x(2n+1)/2] / 2*sen(x/2)
Essa igualdade é valida se, e somente se, 2*sen(x/2)*( 1/2 + 
cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+....+cos(nx))= sen[x(2n+1)/2].
Assim: D= 2*sen(x/2)*( 1/2 + cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+....+cos(nx)) = sen(x/2) 
+ 2*sen(x/2)*cos(x) + 2*sen(x/2)*cos(2x) +....+ 2*sen(x/2)*cos(nx).
Note que 2*sen(x/2)*cos(kx)= sen((x/2)*(2k+1)) - sen((x/2)*(2k-1))  
(utilizando a formula de produto em soma). Assim temos:
D= sen(x/2) + sen((x/2)*3) - sen((x/2)) + sen((x/2)*5) - sen((x/2)*3) + 
sen((x/2)*7) - sen((x/2)*5) + ... + sen((x/2)*(2n+1)) - sen((x/2)*(2n-1))
Fazendo as devidas simplificaçoes temos: D= sen((x/2)*(2n+1)), como 
queriamos demontrar.

Agora vamos ao primeiro problema:
1) sabendo que D= sen1º*sen3º*sen5º.....sen87º*sen89º = 2^(-n) determine o 
valor de 2n
Note que sen(89)=cos(1), sen(87)= cos(3), sen(85)= cos(5), sen(83)= 
cos(7),..., sen(47)=cos(43).
Olhando para o produto D, de forma diferente temos:
D= sen(45)*[sen(1)*sen(89)]*[sen(3)*sen(87)]*...[sen(43)*sen(47)]= 
sen(45)*[sen(1)*cos(1))]*[sen(3)*cos(3)]*...[sen(43)*cos43]
Sabemos que sen(2x)= 2*sen(x)*cos(x), logo:
D= (2^(-22))*sen(45)*sen(2)*sen(6)*sen(10)*...*sen(46)
Porem sen(45)*sen(2)*sen(6)*sen(10)*...*sen(46) nao pode ser trivialmente 
calculado... e mesmo que pudesse ser calculado facilmente e ele nao seria 
potencia de 2, logo o enunciado deve estar errado.

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