Re: [obm-l] Probabilidade: folha quadriculada

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Eu fiz um raciocínio um pouco diferente, mas semelhante ao seu, usando
probailidades condicionadas. Com a sua terminologia, se A eh o evento {os
dois quadrados tem um lado comum}, entao o teorema da probabilidade total
nos diz que P(A) = P(A|C) P(C) + P(A|B) P(B) + P(A|I) P(I), onde C = {o
primeiro quadrado estah no canto}, B = {o primeiro quadrado estah nas
bordas} e I = {o primeiro quadrado estah no interior}. Dado que escolhido um
quadrado hah n^2 -1 possibilidaes para a escolha do segundo, temos que 
P(A|C) P(C) = 2/(n^2-1) . 4/n^2 (se o 1o quadrado estah no canto, hah duas
possibilidades de que o segundo tenha um lado em comum com o primeiro)
P(A|B)P(B) = 3/(n^2-1) . 4(n-2)/n^2 (agora hah 3 possibilidades)
P(A|I)P(I) = 4/(n^2-1) . ((n-2)^2))/(n^2) (hah 4 possibilidades.
Logo , P(A) =  (8 + 12(n-2) + 4(n-2)^2)/((n^2-1)*n^2) = (4 n
(n-1))/((n+1)(n-1)(n^2)) = 4/(n*(n+1))
Eh possive que haja um metodo de contagem direta que seja mais rapido do que
esta minha solucao.
Artur




--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "Lista da OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: [obm-l] Probabilidade: folha quadriculada
Data: 30/09/04 15:32

Como vão senhores

O seguinte exercício tem causado dúvida:

Uma folha quadrada de papel quadriculado contem n^2 quadradinhos (n>=2).
Escolhendo-se ao acaso dois quadradinhos distintos, qual a probabilidade de
que eles tenham um lado comum?

O livro diz que a resposta é: 4 / [n(n+1)]
Não consigo chegar nesse resultado.

Vejam como pensei e por gentileza, se puderem, digam o que há de errado.

Sao 3 os tipos de quadradinhos: 

-> os que ficam nos cantos (são 4);

-> os que ficam nas bordas mas não nos cantos (são 4(n-2));

-> os demais, que ficam no interior (são (n-2)^2).



Então montei assim a expressao de probabilidade:

P= [4 * 2/(n^2 - 1)] + [4(n-2) * 3/(n^2 - 1)] + {[(n-2)^2] * 4/(n^2 -1)}


Por esse caminho, chega-se a P= 4n/(n+1)

???

Obrigado


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