Re: [obm-l] sutileza

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Qual a sutileza na demonstração abaixo?

>x^2 = x.x
>x^2 = (x + x + ... + x + x) x vezes
>Derivando ambos os lados temos que:
>2x = (1 + 1 + ... + 1 + 1) x vezes
>2x = 1 x
>Portanto 2 = 1

Nao hah sutileza, hah um erro nada sutil. x nao eh uma variavel inteira. E
se supusermos que x eh inteiro, o conceito de derivada perde o sentido.

>Mostre que (cos (x^2)) nao eh uniformemente >continua.

Definamos as sequencias a_n = raiz(2pi*n) + 1/raiz(n) e b_n = raiz(2pi*n),
n=1,2... Entao a_n - b_n = 1/raiz(n) -> 0. Alem disto, cos((a_n)^2) =
cos(2pi*n + 2raiz(2pi) + 1/n) = cos(2raiz(2pi) + 1/n). Logo, cos(a_n^2) ->
cos(2raiz(2pi).
Por outro lado, cos((b_n)^2) = cos(2pi*n) = 1. Segue-se que ((a_n)^2 -
(b^n)^2) -> cos(2raiz(2pi) -1 ~= 0,2963 -1 <>0
Existem, portanto, sequencias a_n e b_n em R tais que a_n - b_n ->0 mas
cos((a_n)^2) - cos((b_n^2)) nao tende a zero. Disto concluimos que cos(x^2)
nao eh uniformemente continua (se f eh unif. continua em R e a_n - b_n -> 0,
entao temos, necessariamente, que f(a_n) - f(b_n) ->0)     



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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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