[obm-l] Eq de Pell (era: Soluçoes Inteiras)

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, Sep 25, 2004 at 07:57:35PM +0000, Edward Elric wrote:
> 
> Ah desculpe, nem vi que digitei errado:
> eh x² - 2y² = -1
> eu tinha digitado +...

Esta é a famosa equacão de Pell; voce pode ler sobre ela
em qualquer livro basico de teoria dos numeros. Tambem
saiu um artigo recentemente numa Eureka.

Considere Z[a] = { x + ya; x, y inteiros }, a = sqrt(-2) = i sqrt(2).
Para z = x + ya em Z[a], defina N(z) = z * conjugado(z) = x^2 - 2 y^2.
É bem fácil verificar que N(z1 z2) = N(z1)*N(z2).
Estamos procurando as solucões de N(z) = -1, ou seja,
os pontos de Z[a] sobre a hipérbole x^2 - 2y^2 = -1.
É bem claro que N(1+a) = -1. Assim N(+-(1+a)^n) = -1 para 
qualquer inteiro ímpar n e N(+-(1+a)^n) = 1 para qualquer inteiro par n.
Queremos provar que estas são as únicas solucões
Suponha por absurdo que existam outras e seja (x0,y0) a primeira
solucao fora desta família com x0, y0 > 0 (primeira = x0 mínimo).
Claramente (1+a)^(-2) * (x0 + y0 a) é outra solucão, o que implica
que a coordenada x desta solucão é negativa. Basta agora testar
um número finito de casos para ver que isto não acontece.

[]s, N.
 
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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