[obm-l] Re: [obm-l] ENIGMA GEOMÉTRICO!

["Rafael" <overcunning@xxxxxxxxxxxx>]

----- Original Message -----
From: <jorgeluis@edu.unifor.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, September 24, 2004 9:51 PM
Subject: [obm-l] ENIGMA GEOMÉTRICO!


> Olá, Pessoal!
>
> Num icosaedro regular, cada vértice está ligado a 5 outros vértices
> formando uma pirâmide pentagonal. Qual a altura dessa pirâmide?
>

Vou tomar o comprimento das arestas do icosaedro como unitário. O raio da
circunferência circunscrita ao polígono da base pode ser obtido pela lei dos
cossenos: 1^2 = 2R^2 [1 - cos(2pi/5)]

O valor de cos(2pi/5) é fácil de ser calculado e vale [sqrt(5) - 1]/4.
Substituindo e simplificando, você obterá:

R = sqrt[50 + 10sqrt(5)]/10

Por Pitágoras, a altura mede H = sqrt(1 - R^2) = sqrt[50 - 10sqrt(5)]/10.


>
> A propósito, qual a razão de serem apenas cinco os poliedros regulares?
>

Eu imagino que você esteja se referindo aos poliedros de Platão. De acordo
com a definição moderna, há nove poliedros regulares: cinco são os poliedros
de Platão (convexos, a saber: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e
icosaedro) e quatro são os poliedros de Kepler-Poinsot (estrelados, a saber:
dodecaedro grande, icosaedro grande, dodecaedro grande estrelado, dodecaedro
pequeno estrelado).

Acho que os quatro últimos não são tão conhecidos assim, há ilustrações
deles aqui:  http://mathworld.wolfram.com/Kepler-PoinsotSolid.html


>
> Afinal! Qual é mesmo a definição de poligono convexo? E de poliedro?
>

Um polígono é convexo se ele contém todos os segmentos de reta obtidos da
ligação de quaisquer dois pontos que a ele pertençam. E um poliedro é um
sólido tridimensional formado por vários polígonos, normalmente ligados uns
aos outros por suas arestas.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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