[obm-l] RE: [obm-l] Grupo de ordem 9 é abeliano

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Daniel e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Aqui vai uma dica ( por favor, complete os detalhes ) : Z/9Z e abeliano, 
claramente, pois e ciclico. Por outro lado, Z/3Z X Z/3Z e abeliano, conforme 
se verifica facilmente. Eu afirmo que, a menos de isomorfismos,  estes sao 
os unicos grupos de ordem nove ...

Realmente, pois se G e um grupo de ordem nove que e ciclico entao ele e 
isomorfo a Z/9Z. Logo, abeliano. Se G nao e ciclico, pelo TEOREMA DE 
LAGRANGE todo elemento de G diferente da unidade tem ordem 3. Seja g um 
elemento ( diferente da unidade ) de G. Entao, claramente, existe h em G - 
<g>.

Eu afirmo que :

1) G = <g,h>
2) hg = gh

Logo, G e abeliano.

Para provar 1) basta voce fazer combinacoes com "g" e "h" e usar razoes 
elementares. Para provar 2) mostre que qualquer suposicao sobre hg ( por 
exemplo : hg = (g^2)(h^2) ) conduz a absurdos.

Um Abraco
Paulo Santa Rita
5,2058,160904

>From: kleinad@webcpd.com
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Grupo de ordem 9 é abeliano
>Date: Thu, 16 Sep 2004 15:37:54 +0000
>
>Como provar que todo grupo G de ordem 9 é abeliano, sem usar Sylow nem
>Cauchy (embora possa-se mostrar facilmente que existe elemento de ordem 3 
>em
>G)?
>
>[]s,
>Daniel

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