[obm-l] Convergencia das derivadas de uma sequencia de funcoes

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Olah a todos,
Gostaria de ter uma opiniao sobre o seguinte assunto.
Eu tenho uma sequencia de funcoes {C_m}, que representa o custo de
atendimento a um sistema eletrico em funcao de sua carga x, a qual converge
em [0, M] para uma funcao C. Eu estou precisando da funcao custo marginail e
sei que, para cada n, C_n eh diferenciavel em [0, M] e que C'_n = f_n + r_n.
f_n converge em [0, M] para uma funcao f e, embora eu nao tenha a
representacao analitica das f_n e nem de f, eu consigo atraves de um
algoritmo determinar com precisao aceitavel f(x) = lim (f_n(x)) para cada x
de [0, M].  De modo geral, as as f_n nao sao continuas, mas sei que todas
sao monoticamente crescentes em [0, M]. Logo, admitindo-se que f seja
continua (nao tenho uma prova rigorosa disto, mas vou admitir como verdade),
o teorema de Polya garante que a convergencia f_n -> f eh uniforme em [0,M].

As fucoes r_n sao um ruido e eu sei pouco sobre elas. Variam muito e
erraticamente em [0, M](um dente de serra), mas r_n -> 0 ponto a ponto em
[0, M]. Assim tenho que C'_n -> f mas nao sei se uniformemente.  Se eu
pudesse garantir uniformidadde na convergencia g_n -> 0, eu poderia afirmar
que f = C' e e meu problema estaria resolvido. Todo o esforco de
convergencia poderia ser concentrado em {f_n} e eu poderia simplesmente
esquecer as r_n. 
Eu acredito que, apesar do comportamento erratico n eixo dos x, as f_n sao
monoticas em n para um mesmo x. Se eu soubesse que isto eh de fato verdade e
as f_n fossem continuas, entao o T. de Dini me garantiria convergencia
uniforme em [0, M], certo? Mas buscar continuidade talvez seja demais. Se eu
conseguir estabelecer um limite superior L_nm para cada |r_n| em [0,M],
serah que aquele teorema da convergencia monotonica de Lebesgue traria
alguma conclusao?  Se se eu simplesmente ignorar as r_n e assumir C' =f,
serah que vou fazer uma simplificacao muito grosseira?
Eu estou pensando em tentar analisar a continuidase das r_n - o que parece
ser uma missao impossivel - ou - o que parece mais facil - analisar limites
para elas.
Serah que existe algum outro teorema que eu possa aplicar aqui?
Obrigado
Artur 

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