[obm-l] Teoria de Medidas

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Eu estou engatinhando,e devagar, na Teoria de Medidas.
Gostaria que alguem
desse uma opiniao sobre a prova abaixo para a seguinte
proposicao:

Seja (X, M, u) um espaco de medidas. X um conjunto, M
uma sigma-algebra definida em X e u uma medida
definida em M. Suponhamos que u seja
semifinita, no sentido de que, para todo E pertencente
a M com u(E) = oo, exista um subconjunto mensuravel F
de E com 0 < u(F) < oo. Para todo c>0, existe entao em
M um conjunto F tal que c < u(F) < oo.

Prova:
Inicialmente, observamos que, se u(E) = oo e F eh um
subconjunto mensuravel de E tal que u(F) < oo, entao,
sendo E/F o complemento de F com relacao a E,
temos pela sigma-aditividade da medida que u(E/F) =
u(E) - u(F) = oo - u(F) = oo. Como u eh semifinita,
existe um subconjunto G de E/F com 0 < u(G) < oo.
Temos entao que F e G sao subconjuntos disjuntos de E,
de modo que H = F U G tambem estah contido em E. Pela
sigma-aditividade da medida, u(H) = u(F) +
u(G) = u(F) + u(G) > u(G). Concluimos assim que, se
u(E) = oo, entao, para todo subconjunto mensuravel F
de E que apresente medida finita, existe um
subconjunto G de E tal que u(F) < u(G) < oo. 
Suponhamos agora, por via de contradicao, que, para
algum c>0, seja verdade que u(F) <=c para todos os
conjuntos de M que apresentem medida finita. Esta
hipotese implica a existencia do real s = supremo S,
sendo S = {u(F) : F pertence a M e u(F)<c}. Em virtude
da conclusao anterior, temos que s naum estah em S e
que, portanto, u(G)< s para todo conjunto mensuravel G
com medida finita .
Para todo inteiro positivo k, existe um conjunto F_k
em M com s -1/k < u(F_k) < s. Definamos G_n = Uniao
(k=1,n) F)_k, de modo que {G_n} eh uma sequencia
ascendente de conjuntos mensuraveis. Como cada F_k tem
medida finita, temos para cada n que G_n tambem tem
medida finita (consequencia da sigma-sub-aditividade
da medida). Considerando-se tal fato e, novamente, a
sigma-sub-aditividade da medida, para cada n temos
(1)s -1/n < u(F_n) <= u(G_n) < s. Sendo agora G =
Uniao (n=1, oo) G_n, a continuidade da medida nos
mostra que u(G) = lim u(G_n). Das desigualdades em
(1), segue-se porem que u(G) = s. Logo, G tem medida
finita e u(G) =s, o que contraria a conclusao a que
anteriormente chegamos. Desta contradicao, observamos
que, para todo c>0, existe necessariamenteum F em M
com c < u(F) < oo, provando-se assim a proposicao.

Artur   
       







		
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