[obm-l] 0 é natural? (era: Questão_4)

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, Sep 13, 2004 at 09:32:43PM -0300, Douglas Drumond wrote:
> Não quero botar lenha na fogueira, mas dois raciocínios que nos
> levam a excluir o 0 dos naturais:

Acho que o tema é legítimo, mas eternamente inconclusivo,
poderíamos falar sobre ele por tempo indeterminado.
Aliás há várias mensagens relacionadas nos arquivos.
Vou comentar os seus dois itens trocando a ordem:

> - agora um mais matemático: nos axiomas de Peano, define-se o 1 (o um
> existe). Para obter um sucessor de um númerio natural, adiciona-se 1 a
> ele. Então, se o 1 está definido, podemos adicionar 1 ao 1 p/ obter 2
> e assim por diante. Agora se os naturais começam do 0, para obter o
> sucessor de 0, adiciona-se 1. Mas o 1 não foi definido (nesse caso,
> assumimos o 0 como início e não definimos o 1), então não podemos
> adicionar 1 a ninguém.

De fato Peano é um dos maiores responsáveis pela confusão de
0 ser ou não natural: em ocasiões diferentes ele usou as duas
convenções diferentes! 

A sua forma de descrever a construção de Peano não é a usual.
Normalmente, a função sucessor é considerada mais básica do que a soma
então o seu raciocínio não se aplica. Acho um pouco artificial
supor que no início a soma já existe mas os números ainda não.

A construção dos naturais em teoria dos conjuntos, por outro lado,
começa com 0 = {} e continua com 1 = {{}}, 2 = {{},{{}}}, ...

> - vc aprende a contar a partir do 1, a história da pedrinha com
> carneirinhos começa do um (não havia a pedra zero), logo o
> modo natural de contar começa do um. Esse não é um raciocínio
> matemático, mas ajuda a memorizar que devemos iniciar a partir do 1.

Por outro lado, nada impede de chamarmos os três porquinhos de P0, P1 e P2.

O que eu acho que você deve estar dizendo é que de fato na história
o número 0 aparece muito depois de 1, 2, 3. É fato, mas também é fato
que 1 aparece depois de 2 e 3, e não antes. Mesmo em Euclides o número 1
recebe um tratamento especial que para nós parece desnecessário.

Finalmente, não se trata de "memorizar" nada. Estamos, espero,
discutindo uma das duas questões abaixo:

(a) Existe uma convenção razoavelmente ampla quanto a se N = {0, 1, 2,...}
ou se N = {1, 2, 3, ...}?

Acho que a resposta é claramente NÃO.

Em particular, ao redigir uma prova acho que nunca devemos dizer "naturais"
sem especificar qual das duas definições temos em mente. O melhor mesmo
é falar de inteiros positivos ou inteiros não negativos.

Em algumas áreas, por outro lado, os matemáticos parecem ter chegado
a um certo consenso. Em livros de teoria dos conjuntos, por exemplo,
acho que é bem universal que 0 é natural.

(b) Qual dos dois conjuntos {0, 1, 2, ...} ou {1, 2, 3, ...} merece ganhar
o nome de N, o conjunto dos naturais?

Aqui os argumentos são inconclusivos e pessoas diferentes têm opiniões
diferentes. Os dois conjuntos são claramente importantes. Se for para
votar, eu voto em N = {0, 1, 2, ...}.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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