Re: [obm-l] Conjuntos enumeraveis e finitos

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

>E quanto ao intervalo aberto A = (a, b) com a < b? O supremo de A é b,
>mas b não pertence a A.

>Bernardo

Ela disse conjuntos FINITOS. O intervalo (a,b) eh INFINITO. Ela NAUM disse
intervalos com pontos extremos finitos. Por conjunto finito entendemos um
conjunto equivalente, para algum natural n, a um segmento inicial {1,
2,.....n} do conjunto dos naturais.
Artur

On Mon, 13 Sep 2004 12:26:19 -0300, Artur Costa Steiner
<artur@opendf.com.br> wrote:
> > Oi,
> > Eu gostaria de ajuda para dar uma prova
> > matematicamente valida para as seguintes afirmacoes
> > sobre conjuntos de R^n:
> >
> > 1) Se o conjunto dos pontos de acumulacao de A for
> > enumeravel ou finito, entao A eh enumeravel, podendo
> > ser finito. 
> Uma forma de provar isso eh tomar por base o conceito de ponto de
> condensacao. Dizemos que x eh ponto de condensacao de A se toda vizinhanca
> de x contiver uma quantidade naum-enumeravel de elementos de A. Em R^n
> (assim como em todo espaco metrico separavel), conjuntos naum enumeraveis
> possuem pontos de condensacao e o conjunto dos pontos de condensacao de um
> conjunto naum eh enumeravel. Eh imediato que todo ponto de condensacao eh
> ponto de acumulacao. Como o conjunto dos pontos de acumulacao de A eh
> enumeravel, segue-se automaticamente que A naum possui pontos de
condensacao
> (se A possuisse um de tais pontos, entao o conjunto de seus pontos de
> acumulacao conteria pontos de condensacao e naum poderia ser enumeravel).
> Logo, A eh enumeravel.
> 
> > 2) Se A eh um subconjunto de R limitado
> > superiormente, entao o supremo de A pertence a A.
> Se s = supremo A naum pertencesse a A, entao s seria ponto de acumulacao
de
> A. Mas como A eh finito, A naum possui nenhum ponto de acumulacao. Logo,
> temos necessariamente que s pertence a A.
> 
> > No caso (1) eu estou com dificuldades na primeira
> > parte, embora a conclusao pareca intuitiva.
> Tambem acho, embora a prova formal naum seja assim tao imediata
> 
> > Com relacao a segunda parte, um bom exemplo eh B =
> > conjunto dos racionais, certo? Eh enumeravel, mas o
> > conjunto de seus pontos de acumulacao eh o proprio
> > R, que naum eh enumeravel. 
> Exatamente.
> 
> Artur
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Bernardo Freitas Paulo da Costa

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