Re: [obm-l] Conjuntos enumeraveis e finitos

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

> Oi,
> Eu gostaria de ajuda para dar uma prova
> matematicamente valida para as seguintes afirmacoes
> sobre conjuntos de R^n:
> 
> 1) Se o conjunto dos pontos de acumulacao de A for
> enumeravel ou finito, entao A eh enumeravel, podendo
> ser finito. 
Uma forma de provar isso eh tomar por base o conceito de ponto de
condensacao. Dizemos que x eh ponto de condensacao de A se toda vizinhanca
de x contiver uma quantidade naum-enumeravel de elementos de A. Em R^n
(assim como em todo espaco metrico separavel), conjuntos naum enumeraveis
possuem pontos de condensacao e o conjunto dos pontos de condensacao de um
conjunto naum eh enumeravel. Eh imediato que todo ponto de condensacao eh
ponto de acumulacao. Como o conjunto dos pontos de acumulacao de A eh
enumeravel, segue-se automaticamente que A naum possui pontos de condensacao
(se A possuisse um de tais pontos, entao o conjunto de seus pontos de
acumulacao conteria pontos de condensacao e naum poderia ser enumeravel).
Logo, A eh enumeravel. 

> 2) Se A eh um subconjunto de R limitado
> superiormente, entao o supremo de A pertence a A.
Se s = supremo A naum pertencesse a A, entao s seria ponto de acumulacao de
A. Mas como A eh finito, A naum possui nenhum ponto de acumulacao. Logo,
temos necessariamente que s pertence a A.

> No caso (1) eu estou com dificuldades na primeira
> parte, embora a conclusao pareca intuitiva.
Tambem acho, embora a prova formal naum seja assim tao imediata

> Com relacao a segunda parte, um bom exemplo eh B = 
> conjunto dos racionais, certo? Eh enumeravel, mas o
> conjunto de seus pontos de acumulacao eh o proprio
> R, que naum eh enumeravel. 
Exatamente.

Artur 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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