Re: [obm-l] MMC

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, Sep 13, 2004 at 12:38:40AM -0300, Roney Kevin wrote:
> Bem, resolvendo uns problemas hoje me deparei com a necessidade de calcular o
> MMC de dois números racionais, 4 e 2/3. A princípio achei q era normal, mas
> qdo fui fazer estranhei. Foi então q fiz pela difição basica de MMC.  Sendo
> os multiplos de 2/3 iguais a {2/3; 4/3; 6/3...;12/3} . Assim observei q o MMC
> (4; 2/3) seria 4 mesmo. Foi ai q veio a dúvida como descobrir um processo
> algebrico pra calcular como encontrar o MMC de dois números racionais. Será q
> eu ja estudei isso e faz tanto tempo q estou esquecido? Bem, nao sei.  Dai
> fui tentando pelo mesmo método criando exemplos:
> MMC(1/3;1/4) = 1
> MMC(5/2;1/3) = 5
> mas se a coisa complicasse um pouco começa a dar trabalho demais.

Eu suponho que a sua definição de MMC seja: MMC(a,b) é o menor racional
positivo c tal que c/a e c/b sejam ambos inteiros. Se for isso, não é
difícil mostrar que MMC(ad,bd) = d MMC(a,b). Assim, procure um inteiro
positivo d qualquer tal que ad e bd sejam inteiros, calcule o MMC
de ad e bd (que são inteiros) e divida a resposta por d.

MMC(1/3,1/4) = MMC(12/3,12/4)/12 = MMC(4,3)/12 = 12/12 = 1.
MMC(5/2,1/3) = MMC(6*5/2,6*1/3)/6 = MMC(15,2)/6 = 30/6 = 5.
MMC(12314/12313, 12634/52424) =
MMC(12313*52424*12314/12313, 12313*52424*12634/52424)/(12313*52424) =
MMC(645549136, 155562442)/645496712 = 50211600013575056/645496712 = 155575076.

Pelo menos umas das formas usuais de calcular MMC continua valendo
para racionais. Fatore cada racional como um produto de potências
de primos; note que todo racional positivo pode ser escrito de forma
única como um produto de potências de expoente inteiro (positivo ou
negativo) de primos. Para cada primo, tome o máximo dos expoentes.

Aliás, tudo isso vale de forma análoga para o MDC.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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