Re: [obm-l] Conjunto finito

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 09.09.04 23:12, kleinad@webcpd.com at kleinad@webcpd.com wrote:

> Alguma ajuda na questão abaixo?
> 
> Seja f: X --> X uma função tal que se Y é um subconjunto próprio não vazio
> de X, f(Y) não está contida em Y, qualquer que seja Y. Mostre que X é finito.
>
> Claro, a recíproca é verdadeira; se X é finito então é possível achar f
> satisfazendo o enunciado (por exemplo, uma função que leve x_i em x_i+1 (i <
> n) e x_n em x_1, supondo X com n elementos).
> 
> []s,
> Daniel
> 
Suponhamos que X seja infinito.

Tome x_1 em X. Sejam x_2 = f(x_1), x_3 = f(x_2), etc...

Se, para algum k, x_k = x_1, entao tome Y = {x_1, x_2, ..., x_(k-1)}.
Este Y serah tal que f(Y) = Y.

Por outro lado, se todos os x_i forem distintos, tome Y = {x_2, x_3, ...}
Neste caso, Y serah um subconjunto proprio de X (jah que nao contem x_1) e
teremos f(Y) = Y - {x_2}, o qual estah contido em Y.

Ou seja, se X for infinito, entao sempre irah existir um subconjunto proprio
Y de X com f(Y) contido em Y.

[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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