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Re: RES: RES: [obm-l] Funcoes complexas
Obrigado. Quero ver se peguei a ideia, me corrija, por favor, se eu
estiver errado.
A funcao g se anula identicamente em uma vizinhanca U contida em D (o que
acabou sendo uma consequencia do fato de que analiticidade implica
continuidade). Logo, suas derivadas de todas as ordens sao identicamente
nulas em U.
Se z eh qualquer ponto de D, a analiticidade de g permite expressar g(z) em
série de Taylor ao redor de p. E como todas as derivadas de g se anulam em
p, temos g(z)=0, mostrando que g=0 em todo o D.
A exigencia de que D deva ser um aberto conexo eh para garantir que para
todo z de D possamos expressar g(z) em series de Taylor ao redor de algum p
de D.
Certo?
Artur
--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: RES: RES: [obm-l] Funcoes complexas
Data: 09/09/04 11:55
Vale para todo aberto e conexo.
Abraço. Pedro.
-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] Em nome
de Artur Costa Steiner
Enviada em: Thursday, September 09, 2004 10:41 AM
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: RES: [obm-l] Funcoes complexas
Obrigado pela contribuicao, a vc e ao Claudio.
Na realidade, a conclusao nao se resume ao disco unitario aberto de centro
na origem. Vale em qualquer aberto A do plano complexo, certo?
Artur
--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: RES: [obm-l] Funcoes complexas
Data: 08/09/04 21:34
Se g é diferente de zero em algum ponto p de D então g é diferente de zero
em um aberto U de D contendo p, donde f deve ser zero em U (pois f.g=0) e,
portanto, f é zero em D, pois f é analítica em D. O outro caso é igual.
Os contra-exemplos usando funções C-infinito são fáceis de serem contruídos.
Abraço. Pedro.
-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] Em nome
de Artur Costa Steiner
Enviada em: Wednesday, September 08, 2004 6:45 PM
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Funcoes complexas
Eu estou tentando provar a seguinte proposicao (acredito que seja mesmo
verdadeira), mas ainda naum consegui. Talvez alguem possa dar alguma
sugestao.
Sejam f e g funcoes complexas, definidas e analiticas no disco D ={z | |z|
<1}. Se f*g for identicamente nula em D, entao f =0 (identicamente nula em
D) ou g =0. Mostre que o requisito de que f e g sejam analiticas em D eh de
fato essencial para a conclusao.
Tentei desenvolver f e g em series de Taylor em torno da origem, mas naum m
cheguei aa conclusao citada.
Abracos
Artur
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