Re: [obm-l] Infinitas =?UTF-8?B?c29sdcOnw7VlcyAtIGVxdWHDp8Ojbw==?=

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

> Olá pessoal,
>
> Demonstrar que existem infinitos ternos (a, b, c), com a, b, c números 
> naturais, que satisfazem a relação: 2a^2+ 3b^2 – 5c^2 = 1997.
>

estou sentindo Deja-vu... já resolvi esse aqui na lista, dá uma olhada.

**** mensagem de 22/07/2004 ****

Com um programa de computador (bem simples, feito em VB) eu encontrei a 
solução
a = 31, b = 20, c = 15.
Na verdade, eu encontrei várias, mas essa pareceu particularmente 
promissora pois quando a = 31, 2a2 = 1922, que é perto de 1997.

Então, vamos mostrar que existem infinitas soluções naturais com a = 31:

2*312 + 3b2 - 5^c2 = 1997

3b2 - 5c2 = 75

dá pra ver que 5|B e 3|C pois 3 e 5 são primos, sendo assim, sejam
b = 5B
c = 3C

75B2 - 45C2 = 75
5B2 - 3C2 = 5

agora temos que 5|C, seja então
C = 5D

5B2 - 75D2 = 5

B2 - 15D2 = 1

essa aqui é uma instância da famosa eq. de Pell, que admite uma 
infinidade de soluções inteiras (podemos assumir que as sol. são 
naturais pois se (B, C) é solução da eq. acima, então (|B|, |C|) também é).

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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