Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Desigualdade_de

Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Desigualdade_de_Médias

Eu, li certa vez, uma outra demonstração. Antes de mais nada, eu acho que vou errar alguma coisa, mas se eu errar, por favor corrijam-me.

A idéia era mais ou menos assim. Seja A a Média aritmética entre os números x_1,...,x_n. Se todos os números não fossem iguais a A, então teríamos pelo menos dois, digamos x_i e x_j (ordenando x_i<x_j) tais que x_i<A<x_j. Daí substituíamos x_i'=A e x_j'=x_i+x_j-A de forma a termos x_i'+x_j'=x_i+x_j e x_i'x_j'>x_ix_j. Desta forma, deixamos constante o lado esquerdo da desigualdade, enquanto que o lado esquerdo cresce. Este processo termina quando temos todos x_i=A e a desigualdade torna-se igualdade neste caso...

Espero não ter errado nada

[]'s, Marcelo

Artur Costa Steiner <artur@opendf.com.br> wrote:

Eu sou fan de uma demonstracao naum muito difundida e que se baseia nas
propriedades da funcao exponencial.
Sejam x_1....x_n numeros reais positivos e sejam A e G as suas respectivas
medias aritmetica e geometrica. Para cada i=1....n, seja r_i o desvio
relativo de x_i com relacao a A, isto eh, r_i = (x_i - A)/A = x_i/A -1 (faz
sentido, pois A>0). Entao, Soma (i=1,n) r_i = 0 (1).
Pelas propriedades da funcao exponencial, para todo real x temos e^x >=
1+x, havendo igualdade sse x =0. Logo, para cada i=1...n temos e^r_i >= 1+
r_i => e^r_i >= x_i/A, com igualdade sse r_i= 0 <=> x_i = A.
Multiplicando-se membro a membro as n desigualdades obtidas e observando
(1), temos pelas propriedades da funcao exponencial que e^(Soma (i=1,n) r_i)
= e^0 = 1 >= Produto (i=1,n) (x_i/A) = (Produto (i=1,n) (x_i))/A^n) =
(G^n)/(A^n) = (G/A)^n, ocorrendo igualdade sse x_1 =.....x_n = A. Logo 1 >=
(G/A)^n, o que implica que A>=G. Conforme vimos, hah igualdade sse os x_i
forem todos iguais.
A desigualdade envolvendo a media harmonica eh consequencia direta do que
mostramos, conforme o Prof. Morgado já comentou na sua sua mensagem.
Artur

--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br"
Assunto: [obm-l] Desigualdade de Médias
Data: 03/09/04 00:02

Olá pessoal.

Ultimamente eu me deparei com uma questão de média aritmética x geométrica e
fiquei curioso pra saber a generalização da desigualdade da mesma. Dei uma
olhada no arquivo da lista e achei esse link onde o Morgado mostrou:
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200007/msg00188.html
Entendi o modo como foi feito para quantidade de números potencias de 2, mas
não compreendi os passos utilizados na indução. Alguém poderia detalhar
melhor os passos da demonstração e/ou mandar outras demonstrações dessa
generalização?

Um abraço, Douglas

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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