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Tem uma demonstração legal usando gráfico e o
fato de o centro de massa de um poligono convexo estar no seu interior(acho que
na verdade isso também envolve funções convexas se vc quiser ser mais
detalhista)...
Faça o gráfico da função ln(x)
pegue n pontos sobre esse gráfico
(ln(a1), ln(a2) .... ln (an) )
Desenhe o poligono correspondente a esses n
pontos... ele ficará "abaixo" da curva do ln.. seu centro de massa( de
coordenada y = (ln(a1), ln(a2) .... ln(an))/n)) é um ponto dentro desse
poligono...
Agora pegue o ponto
ln((a1+a2+a3+...an)/n) sobre o
gráfico..
Esse ponto está acima do poligono(pois está na
curva), logo, acima do seu centro de massa..
então...
ln((a1+a2+a3+...an)/n) >= (ln(a1), ln(a2)
.... ln (an))/n)
ln (a1+a2+...an)/n) > = ln ((a1.a2.a3..an)^(1/n)
e como ln é crescente...
(a1+a2+...an)/n) >= (a1.a2.a3..an)^(1/n) .:. Ma
>= Mg
tem outras demonstrações também... acho que vc deve
achar na internet(caso alguem não poste)
[]´s
Igor
----- Original Message -----
Sent: Thursday, September 02, 2004 11:51
PM
Subject: [obm-l] Desigualdade de
Médias
Olá
pessoal.
Ultimamente eu me deparei com uma
questão de média aritmética x geométrica e fiquei curioso pra saber a
generalização da desigualdade da mesma. Dei uma olhada no arquivo da lista e
achei esse link onde o Morgado mostrou: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200007/msg00188.html
Entendi o modo como foi feito para
quantidade de números potencias de 2, mas não compreendi os passos utilizados
na indução. Alguém poderia detalhar melhor os passos da demonstração e/ou
mandar outras demonstrações dessa generalização?
Um abraço,
Douglas
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