Re: [obm-l] AB vs BA e Formula para Nos. Compostos

["Fabio Dias Moreira" <fabio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Claudio Buffara said:
> Aqui vao dois problemas que estao me dando uma canseira:
>
> 1) Sejam A (mxn) e B (nxm) duas matrizes, com m >= n.
> Sejam Pab(x) e Pba(x) os polinomios caracteristicos de AB e BA,
> respectivamente.
> Prove, sem usar determinantes, que: Pab(x) = x^(m-n)*Pba(x).
>
> 2) Prove que existe um inteiro positivo k tal que, para todo n >= 1, o
> numero k*2^n + 1 eh composto.
>
> No primeiro eu consegui provar que k eh autovalor de A <==> k eh
> autovalor de B e que deve realmente existir o termo x^(m-n), mas nao
> consegui mostrar que as multiplicidades dos autovalores sao iguais.
>
> No segundo, eu acho que eh preciso encontrar primos p1, p2, ..., pr tais
> que pelo menos um deles divide k*2^n + 1, para cada n. Estou convencido
> de que o teorema chines dos restos deve ser usado em algum lugar, mas
> nao consegui nada de muito substancial.
> [...]

Ajuda se você considerar individualmente cada uma das classes de
congruência módulo um certo M. Se você não se importar em descobrir qual é
o k, está página tem mais informação:

http://mathworld.wolfram.com/SierpinskiNumberoftheSecondKind.html

[]s,

-- 
Fábio "ctg \pi" Dias Moreira


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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