Re: [obm-l] RE: [obm-l] Demonstração Teorema Laplace...

["Marcos Paulo" <boromir@xxxxxxxxxxxx>]

Seja A = ([a1, b1, c1], [a2, b2, c2], [a3, b3, c3]) uma matriz de ordem 3.
detA = a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 - a3b2c1 - a2b1c3 - a1b3c2

detA = a1b2c3 - a1b3c2 + a2b3c1 - a2b1c3 + a3b1c2 - a3b2c1

detA = a1(b2c3 - b3c2) - a2(b1c3 - b3c1) + a3(b1c2 - b2c1)
Seja A1 = b2c3 - b3c2 (menor de a1)
A2 = b1c3 - b3c1 (menor de a2)
A3 = b1c2 - b2c1 (menor de a3)

detA = a1A1 - a2A2 + a3A3

Note que o menor de um elemento é igual ao determinantes da matriz obtida quando suprimimos a linha e a coluna do elemento dado.

Se vc tiver demonstrado as propriedades dos determinantes previamente vc mostra que isso vale para qualquer fila (linha ou coluna) da matriz, desde que feito um ajuste nos sinais (que seão positivos ou negativos dependendo da soma do nº da linha com o nº da coluna q o elemento ocupa)

Talvez essa não seja uma demonstração generalizada (para matrizes de ordem n) mas já quebra um galhão no ensino médio pela sua simplicidade.

Obs.: Essa demonstração consta no livro A Matemática do Ensino Médio Vol.3 que faz parte da Coleção do Professor de Matemática publicada pela SBM - na verdade o que está escrito acima é um razoavel arremedo da demonstração feita lá.

[]'s MP
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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