Re: [obm-l] outra do bartle

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Eh verdade. Estou agora sem tempo para a sol. completa, mas faca o seguinte.
Defina x' como a media arit. dos |x[i] e r[i] = |x[i]| -x'.   Exprima
x[1])^2 + ... + (x[p])^2 em funcao de x' e dos r[i] e observe que a soma dos
residuos com relacao aa media e nula. 
Artur


--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: Re: [obm-l] outra do bartle
Data: 13/08/04 17:09

Muito obrigado Artur.
Porem o Bartle apresenta como resposta
a = 1/sqrt(p) e b = 1
como melhorar?...

Artur Costa Steiner wrote:

> Oi Niski,
> Se, k = max {|x[1]|, .. |x[p])}, entao (|x[1]| + ... + |x[p]|) <= p*k.
> Por outro lado, sqrt((x[1])^2 + ... + (x[p])^2) >= sqrt(k^2) = k >= 1/p *
> ((|x[1]| + ... + |x[p]|).
> Alem disto, eh facil ver que (x[1])^2 + ... + (x[p])^2) <= (|x[1]| + ... +
> |x[p]|)^2, de modo que sqrt(x[1])^2 + ... + (x[p])^2 <= x[1]| + ... +
> |x[p]|). 
> Logo, (1/p)*(|x[1]| + ... + |x[p]|) <= sqrt((x[1])^2 + ... + (x[p])^2) <= 
> (|x[1]| + ... + |x[p]|), ou seja, as constantes a= 1/p e b=1 satisfazem ao
> desejado.
> Artur
> 
> 
> 
> 
> --------- Mensagem Original --------
> De: obm-l@mat.puc-rio.br
> Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Assunto: [obm-l] outra do bartle
> Data: 12/08/04 21:40
> 
> [...espero que essa nao se degenere para futebol de segunda]
> 
> A questão é a seguinte:
> Mostrar que existe constantes positivas a e b, tais que
> a*(|x[1]| + ... + |x[p]|) <= sqrt((x[1])^2 + ... + (x[p])^2) <= 
> b*(|x[1]| + ... + |x[p]|)
> 
> E achar a maior constante a e a menor constante b com essa propriedade.
> 
> Bom pessoal...gostaria de ver uma solucao para o problema...acho que 
> conheco as peças do problema mas nao consigo monta-las direito...nao to 
> conseguindo argumentar de forma matematicamente coerente..eu acho..
> 
> 
> sei que...
> sqrt((x[1])^2 + ... + (x[p])^2) <= sqrt(p)*sup{|x[1]|,...,|x[p]|}
> e
> ((|x[1]| + ... + |x[p]|)) <= p*sup{|x[1]|, ..., |x[p]|}
> 
> são validas as seguintes equivalencias?
> 
> a*(|x[1]| + ... + |x[p]|) <= sqrt((x[1])^2 + ... + (x[p])^2)
> a*(|x[1]| + ... + |x[p]|) <= sqrt(p)*sup{|x[1]|,...,|x[p]|}
> a <= sqrt(p)*sup{|x[1]|,...,|x[p]|}/(|x[1]| + ... + |x[p]|) (*)
> a <= sqrt(p)*sup{|x[1]|,...,|x[p]|}/p*sup{|x[1]|, ..., |x[p]|} (**)
> a <= sqrt(p)/p
> 
> estou incerto principalmente quanto as passagens marcadas com as 
> estrelinhas.
> 
> isso mostra automaticamente que existe a tal constante?
> a maior basta tomar a igualdade, sqrt(p)/p ou 1/sqrt(p)
> 
> Como achar b?
> 
> Muito obrigado.

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