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Para: "obm-l@mat.puc-rio.br"
<obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l]
análise
Data: 06/08/04 12:49
Oi,
Artur.
Eu acho que quando estava escrito |f(x)| era para ser
interpretado como,
usando a sua notac~ao f=(f1, f2, ,..., fn)
(f1^2 +
f2^2 + ... + fn^2)^(1/2).
A'i eu acho que a an'alise da quest~ao 'e
mais complicada, mas (se eu n~ao
me engano, estudei isso h'a muito tempo
atr'as) deve decorrer do teorema
do posto para fun'c~oes
diferenci'aveis, pois a imagem tem dimens~ao menor
do que o dom'inio,
logo o posto da matriz jacobiana 'e (n-1), logo seu
determinante 'e
zero.
Bernardo
On Fri, 6 Aug 2004, Artur Costa Steiner
wrote:
> Temos que f = (f1,....fm), onde as f_is sao as funcoes
coordenadas de U em R
> que compoem f. A diferenciabilidade de f
implica que todos esta funcoes
> cooordenadas tambem sejam
diferenciaveis, logo continuas.
> Consideremos a funcao f1. Por ser
diferenciavel em U, f1 eh continua neste
> conjunto. Se f1 for
estritamente positiva em U, entao |f1| = f1 eh f1 eh
> constante m U.
Logo todas suas derivadas parciais se anulam em U.
> Se f1 for
estritamente negativa em U, entao f1 = -|f1| e mais uma vez
>
concluimos que f1 eh constante e tem derivadas parciais nulas.
> Se f1
se anular em algum u de U, entao a contuinuidade de |f1| - que
decorre
> automaticamente da continuidade de f1 - implica que f(u) =
0, o que, em
> virtude das condicoes dadas, implica que f seja
identicamente nula em U.
> Logo, tambem neste caso f1 tem derivadas
parciais identicamente nulas
> Como igual raciocinio vale para todas
as f_is, segue-se que o Jacobiano eh
> identicamente nulo.
> Eu
acho que para estas conclusoes basata ssumir continuidade de f em U,
>
estah me parecendo que nao eh preciso assumir difereciabilidade.
>
Artur
>
>
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> Para:
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> Assunto: [obm-l]
análise
> Data: 04/08/04 09:09
>
>
> Gostaria de
uma ajuda no prob. abaixo:
>
> Seja f:U --> R^n dif. no
aberto U de R^m. Se |f(x)| é constante quando x
> varia em U, então o
determinante jacobiano de f identicamente nulo.
>
> Grato,
Éder.
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