[obm-l] Re: [obm-l] Top. dos Esp. Métricos

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

>Gostaria que alguém me ajudasse com os dois problemas abaixo:

>1) Sejam X, Y conexos contidos em M (esp. métrico). Prove que se fr(X) 
>estah contido em Y então X união Y é conexo.

Se um dos conjuntos X ou Y for vazio ou for todo o espaco M, Entao a
conclusao eh imediata. Suponhamos que ambos sejam subconjuntos proprios nao
vazios de M e admitamos que X U Y seja desconexo. Sabemos que a uniao de uma
familia de conjuntos conexos que contenham um elemento em comum eh conexa.
Logo, a hipotese de desconexao implica que X e Y sejam disjuntos. Para
facilitar, consideremos X U Y como um espaco metrico em si mesmo e sejam A e
B subconjuntos de X U Y que formem uma desconexao do mesmo. Como X eh 
conexo, temos que X estah contido em A ou em B - suponhamos em A, SPG. Logo,
Y esta contido em B (pois B naum eh vazio e Y eh conexo) e como B, pela
definicao de desconexao, eh aberto em X U Y, temos que todo elemento de Y
possui uma vizinhanca - o proprio B - que naum intersecta A e que, portanto,
naum intersecta X. Logo, nenhum elemento de Y eh ponto de fronteira de A, o
que contraria uma das hipoteses da afirmacao. Na realidade, basta que Y
contenha um ponto de fronteira de X para que a afirmacao seja verdadeira.

No segundo problema, eu admiti "implicitamente" que X era subconjunto
proprio do espaco. Isto naum estava escrito....Mas como foi dito que existe
um elemento a em X e um elemeto B fora de X, segues-e que X' naum eh vazio e
que X naum pode ser todo o espaco, sendo portanto um subconjunto proprio.
Artur   

Como Y contem a fronteira de X, segue-se que X naum contem nenhum de seus
pontos de fronteira, 

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