Re:[obm-l] Limites

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2002@xxxxxxxxxxxx>]

Acho este modo um pouco mais elementar...Na verdade foi uma questao da Olimpiada Paulista...

Veja que para x>0 vale: (e^x)>1+x.

Entao e^x=((e^(x/2))^2)>(1+(x/2))^2=1+x+((x^2)/4), e assim vemos que exp cresce mais rapido que x.

Podemos, no lugar de x/2, usar x/k e ver que e^x cresce mais rapido que qualquer monomio em x. Com isso, e facil concluir!

kleinad@webcpd.com wrote:

> Outra maneira seria tomar f(x) = log [(a^x)/x] = x*log a - log x, com a > 1.
> Se isso tende a infinito, então (a^x)/x também tende.
>
> f'(x) = log a - (1/x).
>
> Se x > 2/log a, f'(x) é sempre maior que (1/2)*log a pois é crescente.
>
> Assim, f(x) - f(c) = I(x,c)[f'(x)] >= I(x,c)[(1/2)*log a] = (1/2)*(log a)*
> (x - c), onde I(x,c)[f(x)] denota a integral definida de f(x) de c até x.
>
> Logo, f(x) >= (1/2)*(log a)*(x-c) + f(c), e obviamente f(x) tende a
> infinito, e, como conseqüência, (x/e^x) tende a zero, tomando a = e.
>
> Resta mostrar que x^a/e^x tende a zero. Para isso, basta mostrar que e^x/x^a
> tende a infinito.
>
> De fato, tomando e = b^a (b > 1), temos que a a-ésima raiz de e^x/x^a será
>
> b^x/x, e, como b > 1, temos b^x/x -> +oo. Logo, e^x/x^a -> +oo.
>
> Como p(x) eu creio que seja um polinômio qualquer, então
>  podemos separá-lo
> em frações simples da forma x^a/e^x, que tendem todas a zero.
>
> []s,
> Daniel
>
>
>
> Osvaldo (1osv1@bol.com.br) escreveu:
> >
> >Olá.
> >
> >> 2) Prove que Lim p(x)/e^x = 0 quando x tende a
> >infinito.
> >
> >Temos uma indeterminação do tipo +oo/+oo.
> >Aplica-se L'Hospital até zerar o numerador, e observe
> >que o denominador permanece inalterado, por se tratar
> >da função exponencial. Assim teremos o limite da
> >constante 0, que dá zero. Acho que é isso, falou.
> >
> >
> >
> >
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