[obm-l] News from MAKEDOHNA

["dudastabel" <dudastabel@xxxxxxxxxxxx>]

Ola, pessoal da lista,

 

estou escrevendo de um internet-cafe aqui da Macedonia. Hoje, fizemos o primeiro dia de prova, vou postar as questoes aqui na lista, amanha teremos o segundo dia e ultimo. Ainda nao sabemos as nossas notas. A prova estava tao dificil quando a do ano passado, segundo o Stein, eu tambem achei. A acomodacao aqui eh bastante simples, estamos em dupla nos quartos que tem banheiro, e ficam no Campus da Universidade. Comemos no refeitorio, os brasileiros nao gostam da comida, para mim esta bom. Vamos para a Universidade com o onibus coletivo, ganhamos um passaporte especial que permite nao pagar pelo onibus. Fora isso, os Macedoes sao gentis, o intercambio com pessoas de varias partes do mundo eh muito legal e o evento, infelizmente, na minha opiniao, esta mal organizado. Tudo eh improvisado, os avisos nao sao dados, as atividades sao lentas e fora do horario. Agora vao os problemas:

 

1. Se S eh um conjunto com a propriedade de que o modulo da soma de uma quantidade finita de seus elementos eh menor do que 1, entao S eh enumeravel.

 

2. Se P(x)=x^2-1, encontrar quantas sao as raizes reais de P^2004(x)=0, onde consideremos a composicao 2004 vezes.

 

3. Seja S_n o conjuntos das somas x_1+...+x_n tais que 0<=x_i<=Pi/2 e sin(x_1)+...+sin(x_n)=1.

a. Mostrar que S_n eh um intervalo.

b. Se l_n eh o comprimento de S_n entao calcular lim(l_n).

 

4. Seja M um conjunto de n pontos em R^3 pintados de branco ou preto de forma que qualquer esfera que passa por pelo menos 4 pontos de M, passa por exatamente metade de pontos brancos e outra metade pretos. Mostrar que todos os pontos de M estao numa esfera.

 

5. Seja X um conjunto com BInomial(2n-4, n-2)+1 elementos com n>=2. Provar que existe uma sequencia monotona x_1,...,x_(n-1) de X tal que

 

|x_(i+1)-x_1|>=2|x_i-x_1|.

 

6. Seja f(z)=Sum(log(z)^(-4)) onde a soma eh tomada sob todos os ramos do logaritmo.

a. Mostrar que f(z) eh razao de dois polinomios em z para z diferente de 0 e 1.

b. Mostrar que f(z) = z*(z^2+4z+1)/(z-1)^4.

 

Boa sorte!

Duda