Re: [obm-l] Cone Sul 1997

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

Com um programa de computador (bem simples, feito em VB) eu encontrei a 
solução
a = 31, b = 20, c = 15.
Na verdade, eu encontrei várias, mas essa pareceu particularmente 
promissora pois quando a = 31, 2a^2 = 1922, que é perto de 1997.

Então, vamos mostrar que existem infinitas soluções naturais com a = 31:

2*31^2 + 3b^2 - 5^c^2 = 1997

3b^2 - 5c^2 = 75

dá pra ver que 5|B e 3|C pois 3 e 5 são primos, sendo assim, sejam
b = 5B
c = 3C

75B^2 - 45C^2 = 75
5B^2 - 3C^2 = 5

agora temos que 5|C, seja então
C = 5D

5B^2 - 75D^2 = 5

B^2 - 15D^2 = 1

essa aqui é uma instância da famosa eq. de Pell, que admite uma 
infinidade de soluções inteiras (podemos assumir que as sol. são 
naturais pois se (B, C) é solução da eq. acima, então (|B|, |C|) também é).

A propósito, alguém conhece uma demonstração elementar de que a eq. de 
Pell admite uma infinidade de sol. inteiras?

[ ]'s

>Demonstrar que existem infinitos ternos (a, b, c), com a, b, c números na-
>turais, que satisfazem a relação: 2*a^2 + 3*b^2 – 5*c^2 = 1997.
>
>[]s,
>Daniel
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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