[obm-l] Minimo da soma dos inversos dos reciprocos

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Hah alguns dia um colega mostrou de forma muito bonita que se x1+...xn =
K>0, com x1...xn>0, entao 1/x1....+1/xn eh minimo quando x1...= xn = K/n.

Eu citei o uso de multiplicadores de Lagrange, que mostra facilmente que no
ponto extremo os x_i"s sao iguais. Esqueci de dizer que naum eh preciso,
para provar que eh um minimo global, determinarmos Hessianos ou avaliar
condicoes de otimalidade de segunad ordem. Basta ver que f(x) =1/x eh
convexa para x>0 (sua derivada eh estritamente crescente - nem eh preciso
testar a segunda derivada). Como a soma de funcoes convexas num conjunto  eh
convexa neste conjunto, temos aih a garantia de que o minimo eh global.

De modo geral, temos o seguinte: Se f eh diferenciavel para x>=0, se f' eh
estritamente crescente e se os numeros a1..., an sao positivos, entao o
problema 

minimizar f(x1)...+ f(xn), sujeito a 
a1*x1+...an*xn = K>0, com os x_i's >=0, tem um minimo global.
Se os a_i's forem iguais, entao os x_i's otimos sao iguais a K/n.

Eh imediato que condicoes similares e simetricas valem se f' for
estritamente decrescente.

Um detalhe: Com uma ligeira adaptacao, a prova do colega aplica-se ao caso
geral com os a_i's iguais. Se forem diferentes, aih acho que naum dah.
Artur
   


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