Re: [obm-l] Espacial

[kleinad@xxxxxxxxxx]

Correção: -4 < x < 4, e não <= !

A solução do Faelccmm@aol.com (desculpe, não sei seu nome!) se refere a
quando a esfera está incrita no tronco, isto é, quando é o tronco que
circunscreve a esfera... Aliás, esta pergunta faria mais sentido, pois aí
sim a solução é única.

kleinad@webcpd.com escreveu:
>
>Usando a idéia dos eixos, as soluções são dadas por
>
>V(x) = (7/64)*pi*(16-x^2)*(sqrt(240+x^2)-4*x),
>
>com -4 O máximo dessa função ocorre para algum x negativo... que fiquei com
>preguiça de determinar :)
>
>kleinad@webcpd.com escreveu:
>>
>>==>"A altura (h) do tronco eh igual ao diametro da esfera (2*r = 2*4 = 8
>>cm)"
>>A razão entre as áreas das bases nos dá a  razão entre o quadrado dos raios
>>das bases. Para mim, existem infinitas soluções... Uma delas vem tomando o
>>raio da base do tronco = raio R da esfera (o raio da base menor vale
>>portanto R/4) e tomando a altura como sqrt(16 - 1) = sqrt(15). Assim, o
>>volume será 7*pi*sqrt(15).
>>
>>As outras soluções vêm pelo seguinte: imagine uma circunferência no eixo
>>cartesiano. Tanto o tronco e a esfera são sólidos de revolução, e por tanto
>>uma solução no plano para o trapézio e a circunferência será obviamente
>>solução espacial ao fazermos a revolução.
>>
>>A equação da circunferência é x^2 + y^2 = 16.
>>
>>Escolha x_0 arbitrário. Na circunferência, teremos o ponto y_0 = sqrt(16 -
>>x_0^2), que corresponderá ao raio da base maior do tronco. Depois, basta
>>calcular a interseção da reta y = y_0/4 com a circunferência e determinar o
>>x_1 correspondente à interseção. A altura do nosso tronco será, logo, x_1 -
>>x_0.
>>
>>Assim, outra solução é Raio maior da base do tronco = sqrt(15) (raio menor
=
>>sqrt(15)/4), altura = sqrt(241)/4. -->> Volume = 105*pi*sqrt(241)/64.
>>
>>Repare que o volume do tronco, sendo R o raio maior, r o menor, e h a
>>altura, é V = pi*h*(R^2+R*r+r^2)/3
>>
>>[]s,
>>Daniel
>>
>>Faelccmm@aol.com escreveu:
>>>
>>>Ola,
>>>
>>>
>>>V[tronco de cone] = pi*(h/3)*(r_2^2 + r_1^2 + r_1*r_2) (I)
>>>
>>>A altura (h) do tronco eh igual ao diametro da esfera (2*r = 2*4 = 8 cm)
>>>
>>>(... a razao entre as areas das bases do tronco eh igual a 16 ...)
>>>
>>>b1 = base menor do tronco
>>>b2 = base maior do tronco
>>>
>>>b_2 / b_1 = 16
>>>
>>>A razao entre os raios da base maior e menor (r2 e r1 respectivamente) eh
>>>igual aa raiz quadrada da razao entre as areas das bases !
>>>
>>>sqrt(b_2 / b_1) = sqrt(16) = r2 / r1
>>>r2/ r1 = 4, logo r2 = 4*r1
>>>
>>>Voltando em (I):
>>>
>>>V[tronco de cone] = pi*(8/3)*((16*r1^2 + r_1^2 + r_1*(4*r1)) (I)
>>>V[tronco de cone] = pi*56*r1^2 (I)
>>>
>>>Agora so falta-nos descobrir quanto vale r1^2 !
>>>
>>>
>>>
>>>Em uma mensagem de 17/7/2004 23:11:34 Hora padrão leste da Am. Sul,
>>>danielregufe@hotmail.com escreveu:
>>>
>>>
>>>>
>>>> Ola amigos da lista ...  matem essa pra mim ...
>>>>
>>>> Uma esfera de 4 cm de raio circunscreve um tronco de cone de revolução.
>>>> Sabendo-se que a razão entre as áreas das bases do tronco é igual a 16,
o
>>>> seu volume é : ...
>>>>
>>>> []´s
>>>> Regufe
>>>>
>>>>
>>>
>>>
>>>
>>
>
>=========================================================================
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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