Re: [obm-l] RES: [obm-l] Geometria plana - correção no enuncia do

[kleinad@xxxxxxxxxx]

Quero dizer que é desnecessário escolher PC >= PA; mas a localização do
quadrado com relação ao semi-plano determinado por BP e que contenha C é
fundamental!

kleinad@webcpd.com escreveu:
>
>Essa parte é totalmente desnecessária:
>==>> "e que esteja contido no
>semiplano determinado pela reta que passa por PB e que contenha o vértice
>mais próximo de P dentre A e C. Sem perda de generalidade, vamos supor que
>tal ponto é C (mesmo que PA = PC)."
>kleinad@webcpd.com escreveu:
>>
>>Considere o quadrado ABCD e tome P no seu interior e trace PA, PB e PC.
>>
>>Construa agora um quadrado que tenha BP como lado e que esteja contido no
>>semiplano determinado pela reta que passa por PB e que contenha o vértice
>>mais próximo de P dentre A e C. Sem perda de generalidade, vamos supor que
>>tal ponto é C (mesmo que PA = PC). Seja BEFP esse quadrado.
>>
>>Repare que a diagonal PE mede exatamente PB*sqrt(2). Ora, os segmentos PC,
>>CE e PE obedecem a desigualdade triangular, e temos PC + CE >= PE. Resta
>>mostrar que CE == AP.
>>
>>Isso é fácil. Repare que BC == AB (lados do quadrado ABCD) e que BE == BP
>>(lados do quadrado BEFP). Ainda, os ângulos ABP e BCE são congruentes, pois
>>ABP = ABE - PBE = ABE - 90 = ABE - ABC = BCE. Logo, os triângulos APB e BCE
>>são congruentes, e por isso AP = CE.
>>
>>Assim, PC + CE = PC + PA >= PE = PB*sqrt(2).
>>
>>
>>[]s,
>>Daniel
>>
>>
>>Guilherme (gui@mps.com.br) escreveu:
>>>
>>>Olá, pessoal,
>>>
>>>Desculpe, mas cometi um erro ao digitar o enunciado. O correto seria PA
>>>+ PC  >= sqrt(2).PB
>>>
>>>-----Mensagem original-----
>>>De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] Em
>>>nome de Guilherme
>>>Enviada em: sexta-feira, 16 de julho de 2004 19:14
>>>Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>Assunto: [obm-l] Geometria plana
>>>
>>>
>>>Olá, pessoal!
>>>
>>>Aqui vai um problema proposto pela Universidade de Wisconsin. O concurso
>>>já acabou, em 10 de março de 2004, mas fiquei curioso para saber como
>>>resolvê-lo:
>>>
>>>ABCD é um quadrado e P é um ponto interior a ele. Mostre que as
>>>distâncias PA, PB e PC satisfazem a inequação PA + PC  >= PB  (maior ou
>>>igual). (Na verdade, é irrelevante o fato de P ser interior ao quadrado.
>>>A inequação é válida para todos os pontos P no plano).
>>>
>>>Agradeço a ajuda.
>>>
>>>Um grande abraço,
>>>
>>>Guilherme Marques.
>>>
>>>
>>>
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>>>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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