Re: [obm-l] RES: [obm-l] Geometria plana - correção no enuncia do

[kleinad@xxxxxxxxxx]

Considere o quadrado ABCD e tome P no seu interior e trace PA, PB e PC.

Construa agora um quadrado que tenha BP como lado e que esteja contido no
semiplano determinado pela reta que passa por PB e que contenha o vértice
mais próximo de P dentre A e C. Sem perda de generalidade, vamos supor que
tal ponto é C (mesmo que PA = PC). Seja BEFP esse quadrado.

Repare que a diagonal PE mede exatamente PB*sqrt(2). Ora, os segmentos PC,
CE e PE obedecem a desigualdade triangular, e temos PC + CE >= PE. Resta
mostrar que CE == AP.

Isso é fácil. Repare que BC == AB (lados do quadrado ABCD) e que BE == BP
(lados do quadrado BEFP). Ainda, os ângulos ABP e BCE são congruentes, pois
ABP = ABE - PBE = ABE - 90 = ABE - ABC = BCE. Logo, os triângulos APB e BCE
são congruentes, e por isso AP = CE.

Assim, PC + CE = PC + PA >= PE = PB*sqrt(2).


[]s,
Daniel


Guilherme (gui@mps.com.br) escreveu:
>
>Olá, pessoal,
>
>Desculpe, mas cometi um erro ao digitar o enunciado. O correto seria PA
>+ PC  >= sqrt(2).PB
>
>-----Mensagem original-----
>De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] Em
>nome de Guilherme
>Enviada em: sexta-feira, 16 de julho de 2004 19:14
>Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>Assunto: [obm-l] Geometria plana
>
>
>Olá, pessoal!
>
>Aqui vai um problema proposto pela Universidade de Wisconsin. O concurso
>já acabou, em 10 de março de 2004, mas fiquei curioso para saber como
>resolvê-lo:
>
>ABCD é um quadrado e P é um ponto interior a ele. Mostre que as
>distâncias PA, PB e PC satisfazem a inequação PA + PC  >= PB  (maior ou
>igual). (Na verdade, é irrelevante o fato de P ser interior ao quadrado.
>A inequação é válida para todos os pontos P no plano).
>
>Agradeço a ajuda.
>
>Um grande abraço,
>
>Guilherme Marques.
>
>
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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