[obm-l] sequencia de racionais naum inteiros

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Eu encontrei o seguinte problema interessante: Moste que, para todo real
p>=1 e todo inteiro n>=2, o numero a_n = 1/1^p + 1/2^p....+ 1/n^p naum eh
inteiro.

Para p=1, temos que a_n = 1 + (r_2....+...r_n)/(n!), sendo r_i = (n!)/i.
Seja s_i o expoente de 2 na fatoracao de cada i de {2,..n} em fatores
primos. Temos entao que o expoente de 2 na fatoracao de n! eh q =
s_2...+s_n. Sendo s = maximo {s_2,...s_n}, entao s eh o expoente da maior
potencia de 2 que eh <=n. De fato, se, dentre o numeros 2,...n, a fatoracao
daquele com expoente s para o numero 2 contivesse um primo m com expoente
a>=1, entao teriamos 2^(s+1) = 2*2^s < m^a*2^s <= K <=n, sendo K o numero em
{2,...n} com expoente s para o primo 2. Como isto contraria a definicao de s
como  maximo {s_2,...s_n}, concluimos que K = 2^s.
Temos entao, para cada i em {2,..n}, que r_i = 2^(q-p_i)*u_i, sendo u_i um
numero impar. E a soma dos r_i, de i=2 a n,  eh dada por 2^(q-s) * Soma(i=2
a n) (2^(s-p_i)*u_i). Com excecao do inteiro em {2,...n} que se igualar a K,
todos as parcelas dentro do somatorio terao   s - p_i>0, logo serao pares.
No caso de K, teremos s-p_i = 0, e a parcela sera impar. Assim, a_n = 1 +
(2^(q-s) * I)/(n!), seno I um numero impar.  E como o expoente de 2 na
fatoracao de n! eh q> q-s, concluimos a_n eh a soma de 1 com a relacao entre
um impar e um par. Logo, para n>=2, a_n nunca eh inteiro.

Se p>1, a Analise dah uma solucao mais facil, ao menos para p>=2. Sabemos
que a serie Soma (1/n^p) eh convergente para p>1. Como a funcao dada por
f(x) = 1/x^p , x>0, eh estrtamente decrescente e positiva, temos que Soma
(i=1, n) f(n) < f(1) + Integral (x =1, n) f(x) dx, => Soma (i=1, n) 1/n =
a_n <  1+ 1/(p-1). Se p >=2, entao o ultimo membro da desiguadade estah em
(1, 2) se n>=2, de modo que a_n nunca eh inteiro. 

Mas naum consegui provar a proposicao para p em (1,2). Serah que ela eh
mesmo verdadeira? talvez quem a fez a tenha simplesmente tirado da cartola,
sem uma base matematica....
Artur

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