[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Área máxima

["Marcio Afonso A. Cohen" <marciocohen@xxxxxxxxxxxxxx>]

    Não consigo dizer se voce está certo ou errado. A conclusão está correta
(a resposta é de fato o equilátero), mas eu pelo menos não consegui enxergar
nenhuma ligação direta entre o fato de a área ser A = abc/4R e o seu máximo
ser atingido no equilátero.. Por que o fato de se ter A = abc / 4r implica
que A é máxima quando a=b=c???
    Segue abaixo uma solucao para o caso geral.
Dado um poligono convexo de n lados, chame de x_1, x_2, ..., x_n os angulos
centrais que enxergam como cordas os lados do poligono. A area de cada
triangulo formado por um lado e o centro da circunferencia eh
(1/2)*(R^2)sen(x_k), de modo que a área total é:
    S = (1/2)*(R^2)*[sen(x_1)+sen(x_2)+...sen(x_n)]
    Como f(x) = senx tem segunda derivada f''(x) < 0 em (0,pi) e todos os
x_i estao nesse intervalo, a desigualdade de Jensen nos dá:
    [sen(x_1)+sen(x_2)+...+sen(x_n)]/n <= sen[(x_1+x_2+...+x_n)/n] =
sen(2pi/n), com igualdade sse x_1=x_2=...=x_n (e portanto o polígono é
regular).
    Portanto, S <= (1/2)*R^2*n*sen(2pi/n), com igualdade sse o polígono é
regular.
    Isso responde a pergunta original, que perguntava como deve ser um
polígono inscrito de área máxima.
    []s
    Marcio



----- Original Message -----
From: <thor@hotlink.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, July 02, 2004 10:26 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Área máxima


>
>
>  Caro, Igor
>
>  Considere um triangulo de lados a , b e c , inscrito numa circunferencia
de
> raio r , a área desse triangulo em funçao de r eh dada por A=a.b.c/4r ,
logo o
> triangulo terá área máxima quando a=b=c( Equilátero)se estou errado me
corrijam
> por favor.( Igor se vv não souber de onde vem está fórmula da área me
escreva
> que mandarei a desmostraçao para vc ok! ( www.thor@hotlink.com.br )
>
>  Espero ter ajudado.
>
>       Cláudio Thor
>
>
>
>
>
> Citando Igor Oliveira <igoroliveira@pop.com.br>:
>
> > Gostaria de saber como faço pra achar o triângulo de área máxima
inscrito
> > numa
> > circunferência. É o eqüilátero? E o polígono de n lados com área máxima
e
> > inscrito
> > numa é sempre o polígono regular de n lados? Obrigado
> >
> > Igor
> >
=========================================================================
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
=========================================================================
> >
>
>
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================