Re: [obm-l] Trigonometria

["Rafael" <cyberhelp@xxxxxxxxxx>]

cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x)
sen(2x) = 2sen(x)cos(x)

4cos^3(x) - 3cos(x) - 2sen(x)cos(x) = 0
cos(x)(4cos^2(x) - 3 - 2sen(x)) = 0

cos(x) = 0 ==> x = Pi/2 + k*Pi (k inteiro)

4cos^2(x) - 3 - 2sen(x) = 0
4(1 - sen^2(x)) - 3 - 2sen(x) = 0
4sen^2(x) + 2sen(x) - 1 = 0

Discriminante = 4 - 4*4*(-1) = 20 = 4*5

sen(x) = [-1 +- sqrt(5)]/4

x = Pi/10 + 2*Pi*k   ou   x = 9*Pi/10 + 2*Pi*k
ou
x = -3*Pi/10 + 2*Pi*k   ou  x = 13*Pi/10 + 2*Pi*k


Agora, você deve estar se perguntando: "Como ele descobriu esses ângulos?".
Eu pensei em calcular sen(x/2) de x = Pi/5 -- ângulo razoavelmente
conhecido, para o qual o cosseno é metade da razão áurea. Sabemos que
sen(Pi/10) = sen(Pi - Pi/10) -- as primeiras respostas -- e cos(Pi/5) =
sen(Pi/2 - Pi/5) = sen(3*Pi/10) = (1 + sqrt(5))/4, donde sen(-3*Pi/10) =
sen(Pi + 3*Pi/10) = -(1 + sqrt(5))/4 -- últimas respostas.

Considerando as imagens de seno e cosseno no intervalo [-1;1], os ângulos
sempre serão reais.


Um abraço,

Rafael



----- Original Message -----
From: Korshinoi@aol.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, July 01, 2004 1:43 AM
Subject: [obm-l] Trigonometria


A equação cos(3x)=sen(2x) caiu no antigo vestibular da poli....achei
soluções do tipo x=pi/2 + kpi (k pertencente aos inteiros ) As outras
soluções que achei , são x=arcsen(2+2sqrt(5))/-8 ou x=arcsen(2-2sqrt(5))/-8.
O gabarito que me mostraram tem como soluções coisas mais bem
comportadas....Devo ter errado em contas...alguém pode ajudar?
Em tempo...O conjunto verdade da  equação  senx=1, pode ser dado por V={x
pertencente aos reais/ x=90 graus + k.360 graus, k pertencente aos
inteiros}? Explicando melhor...posso dizer x pertencente aos reais quando me
referir a graus??  Vi respostas em apostilas de cursinhos....
  Obrigado a quem puder ajudar.
            Korshinoi...


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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